Номер 501, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 501, страница 201.

501 Докажите, что при любых значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0;$

б) $(x + a)(x - a) = 1 - 2a.$

а)

Данное уравнение $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы доказать, что уравнение имеет хотя бы один корень при любом значении параметра $a$, необходимо и достаточно доказать, что его дискриминант $D$ является неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Коэффициенты квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ в нашем случае равны:

$A = 1$, $B = -5a$, $C = 6a^2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2) = 25a^2 - 24a^2 = a^2$.

Квадрат любого действительного числа $a$ всегда больше или равен нулю, то есть $a^2 \ge 0$.

Поскольку дискриминант $D = a^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, данное уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень. При $a=0$ корень один ($x=0$), при $a \ne 0$ корней два ($x=2a$ и $x=3a$).

Ответ: Доказано.

б)

Сначала преобразуем уравнение $(x + a)(x - a) = 1 - 2a$ к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов:

$x^2 - a^2 = 1 - 2a$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$x^2 - a^2 - 1 + 2a = 0$.

Сгруппируем члены, чтобы выделить коэффициенты:

$x^2 + 0 \cdot x + (2a - a^2 - 1) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Коэффициенты равны:

$A = 1$, $B = 0$, $C = 2a - a^2 - 1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - a^2 - 1) = -4(2a - a^2 - 1) = -8a + 4a^2 + 4$.

Расположим члены в порядке убывания степеней $a$ и вынесем общий множитель:

$D = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1)$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Таким образом, дискриминант равен $D = 4(a - 1)^2$.

Величина $(a-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому она всегда неотрицательна: $(a - 1)^2 \ge 0$. При умножении на 4 результат также остается неотрицательным: $D = 4(a - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$.

Так как дискриминант $D \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: Доказано.