Номер 505, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 505, страница 201.

505 Сколько решений может иметь система уравнений

$\begin{cases}y = 1 - x^2 \\y = x^2 + c\end{cases}$

Укажите значения c, при которых система имеет одно решение; не имеет решений.

Для того чтобы определить, сколько решений может иметь система, рассмотрим ее с аналитической и графической точек зрения. Решением системы являются точки $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям, то есть точки пересечения графиков функций $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 + c$.

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$1 - x^2 = x^2 + c$

Соберем члены с переменной $x$ в одной части уравнения, а константы — в другой:

$1 - c = x^2 + x^2$

$1 - c = 2x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1 - c}{2}$

Количество решений этого уравнения (и, следовательно, всей системы) зависит от знака выражения в правой части. Графически, $y=1-x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз, а $y=x^2+c$ — парабола с вершиной в точке $(0, c)$ и ветвями, направленными вверх. Количество решений системы — это количество точек пересечения этих парабол.

• Если $\frac{1 - c}{2} > 0$, то есть $c < 1$, уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ имеет два различных корня для $x$. Следовательно, система имеет два решения. Это соответствует случаю, когда вершина параболы $y=x^2+c$ находится ниже вершины параболы $y=1-x^2$.
• Если $\frac{1 - c}{2} = 0$, то есть $c = 1$, уравнение имеет один корень $x=0$. Следовательно, система имеет одно решение. Это соответствует случаю, когда вершины парабол совпадают и графики касаются в одной точке.
• Если $\frac{1 - c}{2} < 0$, то есть $c > 1$, уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система не имеет решений. Это соответствует случаю, когда вершина параболы $y=x^2+c$ находится выше вершины параболы $y=1-x^2$, и графики не пересекаются.

Таким образом, система может иметь ноль, одно или два решения.

Значения c, при которых система имеет одно решение

Как было установлено выше, система имеет одно решение, когда уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ имеет ровно один корень. Это возможно только в том случае, если его правая часть равна нулю.

$\frac{1 - c}{2} = 0$

Умножив обе части на 2, получим:

$1 - c = 0$

$c = 1$

При $c=1$ уравнение для $x$ принимает вид $x^2=0$, откуда $x=0$. Соответствующее значение $y$ равно $y = 1 - 0^2 = 1$. Таким образом, при $c=1$ система имеет единственное решение $(0; 1)$.

Ответ: $c=1$.

Значения c, при которых система не имеет решений

Система не имеет решений, когда уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть уравнения является отрицательным числом.

$\frac{1 - c}{2} < 0$

Поскольку знаменатель $2$ положителен, знак дроби определяется знаком числителя:

$1 - c < 0$

Перенесем $c$ в правую часть неравенства:

$1 < c$, что эквивалентно $c > 1$.

Ответ: $c > 1$.