Номер 511, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.9. Решение систем уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 511, страница 205.

511 $$\left\{ \begin{array}{l} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{array} \right.$$

Указание. Сделайте замену: $x^2 = a$; $y^2 = b$.

Для решения данной системы уравнений $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $ воспользуемся предложенной заменой переменных.

Пусть $x^2 = a$ и $y^2 = b$. Так как $x^2$ и $y^2$ являются квадратами действительных чисел, они не могут быть отрицательными, следовательно, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $x^4$ и $y^4$ через новые переменные: $x^4 = (x^2)^2 = a^2$ и $y^4 = (y^2)^2 = b^2$.

Подставив эти выражения в исходную систему, мы получим новую систему уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 32 \\ a + b = 8 \end{cases} $

Теперь решим эту новую, более простую систему. Из второго уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:

$a = 8 - b$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(8 - b)^2 + b^2 = 32$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$64 - 16b + b^2 + b^2 = 32$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2b^2 - 16b + 64 - 32 = 0$

$2b^2 - 16b + 32 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$b^2 - 8b + 16 = 0$

Мы видим, что левая часть уравнения является полным квадратом:

$(b - 4)^2 = 0$

Из этого уравнения находим значение $b$:

$b - 4 = 0 \implies b = 4$

Теперь, зная $b$, найдем значение $a$, подставив $b=4$ в выражение $a = 8 - b$:

$a = 8 - 4 \implies a = 4$

Итак, мы нашли решение для вспомогательной системы: $a = 4$ и $b = 4$. Оба значения удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения исходных переменных $x$ и $y$:

$x^2 = a \implies x^2 = 4$

$y^2 = b \implies y^2 = 4$

Решая эти простейшие квадратные уравнения, получаем:

Из $x^2 = 4$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.

Из $y^2 = 4$ следует, что $y = 2$ или $y = -2$.

Комбинируя все возможные значения $x$ и $y$, мы получаем четыре пары решений $(x; y)$, которые являются решениями исходной системы.

Ответ: $(2; 2)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$, $(-2; -2)$.