Номер 517, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 517, страница 205.

517 a) $((a^2 - 2)a^{-2} - a^{-1}) : (a + a^{-2});$

б) $(1 + c^{-1} + c^{-2}) : (c^{-2} - c).$

а) Упростим выражение по действиям.
1. Сначала преобразуем делимое $((a^2 - 2)a^{-2} - a^{-1})$. Для этого раскроем скобки и воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(a^2 - 2)a^{-2} - a^{-1} = a^2 \cdot a^{-2} - 2a^{-2} - a^{-1} = a^{2-2} - 2a^{-2} - a^{-1} = a^0 - 2a^{-2} - a^{-1} = 1 - 2a^{-2} - a^{-1}$.
Теперь представим слагаемые с отрицательными степенями в виде дробей и приведем к общему знаменателю $a^2$:
$1 - \frac{2}{a^2} - \frac{1}{a} = \frac{1 \cdot a^2}{a^2} - \frac{2}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a^2} = \frac{a^2 - a - 2}{a^2}$.
2. Теперь преобразуем делитель $(a + a^{-2})$.
$a + a^{-2} = a + \frac{1}{a^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^3 + 1}{a^2}$.
3. Выполним деление полученных выражений.
$\frac{a^2 - a - 2}{a^2} : \frac{a^3 + 1}{a^2} = \frac{a^2 - a - 2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^3 + 1} = \frac{a^2 - a - 2}{a^3 + 1}$.
4. Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^2 - a - 2$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. Корни: $a_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ и $a_2 = \frac{1-3}{2} = -1$. Таким образом, $a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$.
Знаменатель $a^3 + 1$ — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.
5. Подставим разложенные многочлены обратно в дробь и сократим общий множитель $(a+1)$.
$\frac{(a-2)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} = \frac{a-2}{a^2 - a + 1}$.
Ответ: $\frac{a-2}{a^2 - a + 1}$.

б) Упростим выражение по действиям.
1. Сначала преобразуем делимое $(1 + c^{-1} + c^{-2})$. Представим слагаемые с отрицательными степенями в виде дробей, используя $c^{-n} = \frac{1}{c^n}$, и приведем к общему знаменателю $c^2$.
$1 + c^{-1} + c^{-2} = 1 + \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} = \frac{1 \cdot c^2}{c^2} + \frac{1 \cdot c}{c^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{c^2 + c + 1}{c^2}$.
2. Теперь преобразуем делитель $(c^{-2} - c)$.
$c^{-2} - c = \frac{1}{c^2} - c = \frac{1}{c^2} - \frac{c \cdot c^2}{c^2} = \frac{1 - c^3}{c^2}$.
3. Выполним деление полученных выражений.
$\frac{c^2 + c + 1}{c^2} : \frac{1 - c^3}{c^2} = \frac{c^2 + c + 1}{c^2} \cdot \frac{c^2}{1 - c^3} = \frac{c^2 + c + 1}{1 - c^3}$.
4. Для упрощения дроби разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $1 - c^3$ — это разность кубов, которую можно разложить по формуле $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$1^3 - c^3 = (1-c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1-c)(1 + c + c^2)$.
5. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(c^2 + c + 1)$.
$\frac{c^2 + c + 1}{(1-c)(c^2 + c + 1)} = \frac{1}{1-c}$.
Ответ: $\frac{1}{1-c}$.