Номер 522, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 522, страница 206.

522 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}$;

б) $\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$.

В каждом случае укажите несколько пар значений x и y, при которых выражение не имеет смысла.

а) Область определения выражения $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}$ находится из условия, что все знаменатели в выражении не должны равняться нулю. В данном выражении есть три знаменателя:

1. Знаменатель $x$ в дроби $\frac{1}{x}$. Следовательно, $x \neq 0$.
2. Знаменатель $y$ в дроби $\frac{1}{y}$. Следовательно, $y \neq 0$.
3. Знаменатель $(x - y)$ в основной дроби. Следовательно, $x - y \neq 0$, что означает $x \neq y$.

Таким образом, выражение имеет смысл при любых значениях $x$ и $y$, удовлетворяющих этим трем условиям одновременно.

Выражение не имеет смысла, если нарушено хотя бы одно из этих условий. Приведем несколько примеров пар $(x, y)$, при которых выражение не имеет смысла:

• Если $x = 0$: например, $(0, 2)$, $(0, -5)$.
• Если $y = 0$: например, $(3, 0)$, $(-1, 0)$.
• Если $x = y$: например, $(4, 4)$, $(-3, -3)$.

Ответ: Область определения выражения — это все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$. Чтобы найти его область определения, нужно исключить все значения переменных, которые приводят к делению на ноль.

1. В дробях $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ знаменатели не могут быть нулевыми. Отсюда получаем условия: $y \neq 0$ и $x \neq 0$.
2. Основной знаменатель $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ также не должен равняться нулю. Решим уравнение:
   $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 0$
   $\frac{x}{y} = \frac{y}{x}$
   Приводя к общему знаменателю $xy$ (что возможно, так как $x \neq 0$ и $y \neq 0$), получаем:
   $x^2 = y^2$
   $x^2 - y^2 = 0$
   $(x - y)(x + y) = 0$
   Это равенство верно, если $x - y = 0$ (т.е. $x = y$) или $x + y = 0$ (т.е. $x = -y$).
   Следовательно, для того чтобы выражение имело смысл, должны выполняться условия: $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Итак, мы имеем четыре условия: $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x \neq y$ и $x \neq -y$.

Выражение не имеет смысла, если не выполняется хотя бы одно из этих условий. Несколько примеров пар $(x, y)$, при которых выражение не имеет смысла:

• Если $x=0$ или $y=0$: например, $(0, 3)$, $(5, 0)$.
• Если $x = y$: например, $(1, 1)$, $(-6, -6)$.
• Если $x = -y$: например, $(2, -2)$, $(-4, 4)$.

Ответ: Область определения выражения — это все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x \neq y$ и $x \neq -y$.