Номер 527, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. Рациональные выражения - номер 527, страница 207.

Условие.

527 Докажите, что:

a) если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то

$\frac{bc - a}{bc} - \frac{ac - b}{ac} - \frac{ab - c}{ab} = -1;$

б) если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то

$\frac{bc - 1}{bc} + \frac{ac - 1}{ac} + \frac{ab - 1}{ab} = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Требуется доказать, что если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то $\frac{bc-a}{bc} - \frac{ac-b}{ac} - \frac{ab-c}{ab} = -1$.

Рассмотрим левую часть равенства и преобразуем ее. Разделим почленно числитель на знаменатель в каждой дроби:

$\frac{bc-a}{bc} - \frac{ac-b}{ac} - \frac{ab-c}{ab} = (\frac{bc}{bc} - \frac{a}{bc}) - (\frac{ac}{ac} - \frac{b}{ac}) - (\frac{ab}{ab} - \frac{c}{ab})$

Упростим полученное выражение:

$(1 - \frac{a}{bc}) - (1 - \frac{b}{ac}) - (1 - \frac{c}{ab}) = 1 - \frac{a}{bc} - 1 + \frac{b}{ac} - 1 + \frac{c}{ab}$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 - 1 - 1) - \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} = -1 - \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}$

Приведем дроби к общему знаменателю $abc$:

$-1 - \frac{a \cdot a}{abc} + \frac{b \cdot b}{abc} + \frac{c \cdot c}{abc} = -1 + \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{abc}$

По условию задачи $a^2 = b^2 + c^2$. Отсюда следует, что $b^2 + c^2 - a^2 = 0$.

Подставим это значение в наше выражение:

$-1 + \frac{0}{abc}$

Так как по условию $abc \neq 0$, то дробь $\frac{0}{abc}$ равна 0.

$-1 + 0 = -1$

Таким образом, левая часть равенства равна -1, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то $\frac{bc-1}{bc} + \frac{ac-1}{ac} + \frac{ab-1}{ab} = 3$.

Рассмотрим левую часть равенства и преобразуем ее. Разделим почленно числитель на знаменатель в каждой дроби:

$\frac{bc-1}{bc} + \frac{ac-1}{ac} + \frac{ab-1}{ab} = (\frac{bc}{bc} - \frac{1}{bc}) + (\frac{ac}{ac} - \frac{1}{ac}) + (\frac{ab}{ab} - \frac{1}{ab})$

Упростим полученное выражение:

$(1 - \frac{1}{bc}) + (1 - \frac{1}{ac}) + (1 - \frac{1}{ab})$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 + 1 + 1) - \frac{1}{bc} - \frac{1}{ac} - \frac{1}{ab} = 3 - (\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $abc$:

$3 - (\frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{c}{abc}) = 3 - \frac{a+b+c}{abc}$

По условию задачи $a + b + c = 0$.

Подставим это значение в наше выражение:

$3 - \frac{0}{abc}$

Так как по условию $abc \neq 0$, то дробь $\frac{0}{abc}$ равна 0.

$3 - 0 = 3$

Таким образом, левая часть равенства равна 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.