Номер 532, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 532, страница 208.

Уравнения с одной переменной

Решите уравнение (532—536).

532 a)

$y^2(y + 1) - 2y(y + 1) - 3(y + 1) = 0;$

б) $2y^2(2y - 3) + y(2y - 3) - (2y - 3) = 0;$

в) $(3x - 2)(x - 1) = 4(x - 1)^2;$

г) $(6x - 1)(x - 2) = 5(x - 2)^2.$

а) $y^2(y + 1) - 2y(y + 1) - 3(y + 1) = 0$

Данное уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем является выражение $(y + 1)$.

Вынесем $(y + 1)$ за скобки:

$(y + 1)(y^2 - 2y - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два случая:

1) $y + 1 = 0$

$y_1 = -1$

2) $y^2 - 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$

$y_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_3 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Объединяя все найденные корни, получаем решения $y = -1$ и $y = 3$.

Ответ: -1; 3.

б) $2y^2(2y - 3) + y(2y - 3) - (2y - 3) = 0$

В этом уравнении общий множитель — это $(2y - 3)$. Вынесем его за скобки.

$(2y - 3)(2y^2 + y - 1) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю:

1) $2y - 3 = 0$

$2y = 3$

$y_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

2) $2y^2 + y - 1 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

$y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_3 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Таким образом, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: -1; 0.5; 1.5.

в) $(3x - 2)(x - 1) = 4(x - 1)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$(3x - 2)(x - 1) - 4(x - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1) \cdot ((3x - 2) - 4(x - 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1) \cdot (3x - 2 - 4x + 4) = 0$

$(x - 1)(-x + 2) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

2) $-x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 2.

г) $(6x - 1)(x - 2) = 5(x - 2)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$(6x - 1)(x - 2) - 5(x - 2)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2) \cdot ((6x - 1) - 5(x - 2)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 2) \cdot (6x - 1 - 5x + 10) = 0$

$(x - 2)(x + 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

2) $x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -9; 2.