Номер 528, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 528, страница 207.

Докажите тождество (528–530).

528 a) $\frac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} : \frac{x + 2}{2x^2 - 5x + 2} = 1;$

б) $\frac{2x - 6}{x^4 + x^2 - 2} \cdot \frac{x^3 - x^2 + 2x - 2}{3 - x} = - \frac{2}{x + 1}.$

а) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой, то есть $1$. Для этого разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях дробей.

1. Числитель первой дроби: $x^2+4x+4$. Это формула квадрата суммы: $(x+2)^2$.

2. Знаменатель первой дроби: $2x^3 - x^2 - 8x + 4$. Разложим его методом группировки:
$2x^3 - x^2 - 8x + 4 = (2x^3 - x^2) - (8x - 4) = x^2(2x - 1) - 4(2x - 1) = (x^2 - 4)(2x - 1)$.
Применив формулу разности квадратов к $(x^2-4)$, получим $(x-2)(x+2)(2x-1)$.

3. Знаменатель второй дроби: $2x^2-5x+2$. Чтобы разложить его на множители, найдем корни квадратного уравнения $2x^2-5x+2=0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5-3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{5+3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Следовательно, разложение имеет вид $2(x-\frac{1}{2})(x-2) = (2x-1)(x-2)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} : \frac{x+2}{2x^2 - 5x + 2} = \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)(2x-1)} \cdot \frac{(x-2)(2x-1)}{x+2}$.

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{(x+2)^2 \cdot (x-2)(2x-1)}{(x-2)(x+2)(2x-1) \cdot (x+2)} = \frac{(x+2)^2 \cdot (x-2)(2x-1)}{(x+2)^2 \cdot (x-2)(2x-1)} = 1$.

Левая часть тождества равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой, то есть $-\frac{2}{x+1}$. Для этого разложим на множители многочлены.

1. Числитель первой дроби: $2x-6 = 2(x-3)$.

2. Знаменатель первой дроби: $x^4+x^2-2$. Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену $y=x^2$, тогда получим квадратный трехчлен $y^2+y-2$. Его корни $y_1=1$ и $y_2=-2$. Значит, $y^2+y-2 = (y-1)(y+2)$. Сделав обратную замену, получим $(x^2-1)(x^2+2)$. Разложим $(x^2-1)$ по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)(x^2+2)$.

3. Числитель второй дроби: $x^3-x^2+2x-2$. Применим метод группировки:
$(x^3-x^2)+(2x-2) = x^2(x-1)+2(x-1) = (x-1)(x^2+2)$.

4. Знаменатель второй дроби: $3-x = -(x-3)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$\frac{2x-6}{x^4+x^2-2} \cdot \frac{x^3-x^2+2x-2}{3-x} = \frac{2(x-3)}{(x-1)(x+1)(x^2+2)} \cdot \frac{(x-1)(x^2+2)}{-(x-3)}$.

Сократим общие множители $(x-3)$, $(x-1)$ и $(x^2+2)$:
$\frac{2\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-1)}(x+1)\cancel{(x^2+2)}} \cdot \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x^2+2)}}{-\cancel{(x-3)}} = \frac{2}{x+1} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{2}{x+1}$.

Левая часть тождества равна $-\frac{2}{x+1}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.