Номер 524, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 524, страница 207.

Сократите дробь (524–526).

524 a) $\frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-a(a-3)}$

б) $\frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a)^2}$

в) $\frac{(x^3-y^3)(x-1)}{y^2-x^2}$

а)

Дана дробь $\frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-a(a-3)}$.
Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель уже представлен в виде произведения множителей. В знаменателе вынесем общий множитель $(a-3)$ за скобки:
$2(a-3)-a(a-3) = (a-3)(2-a)$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(3-a)(a-2)}{(a-3)(2-a)}$.
Заметим, что множители в числителе и знаменателе отличаются только знаком. Преобразуем множители в числителе:
$3-a = -(a-3)$
$a-2 = -(2-a)$
Подставим преобразованные множители в числитель дроби:
$\frac{(-(a-3)) \cdot (-(2-a))}{(a-3)(2-a)} = \frac{(a-3)(2-a)}{(a-3)(2-a)}$.
Теперь мы можем сократить одинаковые множители $(a-3)$ и $(2-a)$ (при условии, что $a \neq 3$ и $a \neq 2$).
В результате сокращения получаем 1.
Ответ: 1

б)

Дана дробь $\frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a)^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Числитель примет вид: $(a-b)(a+b)(a-c)$.
Знаменатель $(b-a)^2$ можно преобразовать, используя свойство квадрата числа: $(x)^2 = (-x)^2$.
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(a-b)^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$ (при условии, что $a \neq b$):
$\frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(a-b)(a-b)} = \frac{(a+b)(a-c)}{a-b}$.
Ответ: $\frac{(a+b)(a-c)}{a-b}$

в)

Дана дробь $\frac{(x^3-y^3)(x-1)}{y^2-x^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе используем формулу разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Числитель примет вид: $(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-1)$.
В знаменателе используем формулу разности квадратов: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y-x)(y+x)}$.
Заметим, что $x-y = -(y-x)$. Заменим $(x-y)$ в числителе:
$\frac{-(y-x)(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y-x)(y+x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(y-x)$ (при условии, что $y \neq x$):
$\frac{-(x^2+xy+y^2)(x-1)}{y+x}$.
Выражение можно оставить в таком виде или внести знак минуса в скобку $(x-1)$, получив $(1-x)$: $\frac{(x^2+xy+y^2)(1-x)}{x+y}$. Оба варианта верны.
Ответ: $\frac{-(x^2+xy+y^2)(x-1)}{x+y}$