Номер 518, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 518, страница 205.

518 Найдите значение выражения:

а) $(1 - y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2)$ при $y = -\frac{3}{2}$; 0,1; -100;

б) $(a + b)^2 + (a - b)^2 - (2a + b)(a + 2b)$ при $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{5}$; $a = 0,2$ и $b = 10$; $a = -5$ и $b = -\frac{1}{125}$.

а)

Сначала упростим данное выражение: $(1 - y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2)$.
Для этого вынесем общий множитель $(1 + y^2)$ за скобки:
$(1 + y^2) \cdot ((1 - y) + (1 + y))$
Теперь упростим выражение во вторых скобках:
$1 - y + 1 + y = 2$
Таким образом, исходное выражение равно $2(1 + y^2)$.
Теперь подставим заданные значения $y$ в это упрощенное выражение.

1. При $y = -\frac{3}{2}$:
$2(1 + (-\frac{3}{2})^2) = 2(1 + \frac{9}{4}) = 2(\frac{4}{4} + \frac{9}{4}) = 2 \cdot \frac{13}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6,5$.

2. При $y = 0,1$:
$2(1 + (0,1)^2) = 2(1 + 0,01) = 2 \cdot 1,01 = 2,02$.

3. При $y = -100$:
$2(1 + (-100)^2) = 2(1 + 10000) = 2 \cdot 10001 = 20002$.

Ответ: при $y = -\frac{3}{2}$ значение равно $6,5$; при $y = 0,1$ значение равно $2,02$; при $y = -100$ значение равно $20002$.

б)

Сначала упростим данное выражение: $(a + b)^2 + (a - b)^2 - (2a + b)(a + 2b)$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности, а также правило умножения многочленов:
$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) - (2a \cdot a + 2a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot 2b)$
$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) - (2a^2 + 4ab + ab + 2b^2)$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 - 2a^2 - 5ab - 2b^2$
$(a^2 + a^2 - 2a^2) + (2ab - 2ab - 5ab) + (b^2 + b^2 - 2b^2) = -5ab$.
Таким образом, исходное выражение равно $-5ab$.
Теперь подставим заданные значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение.

1. При $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{5}$:
$-5ab = -5 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{5} = (-5 \cdot \frac{1}{5}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -1 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

2. При $a = 0,2$ и $b = 10$:
$-5ab = -5 \cdot 0,2 \cdot 10 = -1 \cdot 10 = -10$.

3. При $a = -5$ и $b = -\frac{1}{125}$:
$-5ab = -5 \cdot (-5) \cdot (-\frac{1}{125}) = 25 \cdot (-\frac{1}{125}) = -\frac{25}{125} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: при $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{5}$ значение равно $\frac{1}{3}$; при $a = 0,2$ и $b = 10$ значение равно $-10$; при $a = -5$ и $b = -\frac{1}{125}$ значение равно $-\frac{1}{5}$.