Страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

510 $\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5. \end{cases}$

Указание. Преобразуйте левую часть первого уравнения, воспользовавшись тождеством $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b).$

Дана система уравнений:

Воспользуемся указанием и преобразуем левую часть первого уравнения с помощью тождества суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.

Применив это тождество к выражению $x^3 + y^3$, получим:

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

Выполним вычисления:

Теперь решим это уравнение относительно произведения $xy$:

Теперь исходная система равносильна следующей, более простой системе:

Данная система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные нам значения суммы и произведения:

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

Найдем корни уравнения:

Корни уравнения $t_1=2$ и $t_2=3$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это означает, что возможны две пары решений:

1. $x = 2$, $y = 3$.

2. $x = 3$, $y = 2$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему.

Для пары $(2, 3)$:

$2 + 3 = 5$ (Верно)

$2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$ (Верно)

Для пары $(3, 2)$:

$3 + 2 = 5$ (Верно)

$3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$ (Верно)

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

511 $$\left\{ \begin{array}{l} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{array} \right.$$

Указание. Сделайте замену: $x^2 = a$; $y^2 = b$.

Для решения данной системы уравнений $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $ воспользуемся предложенной заменой переменных.

Пусть $x^2 = a$ и $y^2 = b$. Так как $x^2$ и $y^2$ являются квадратами действительных чисел, они не могут быть отрицательными, следовательно, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $x^4$ и $y^4$ через новые переменные: $x^4 = (x^2)^2 = a^2$ и $y^4 = (y^2)^2 = b^2$.

Подставив эти выражения в исходную систему, мы получим новую систему уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 32 \\ a + b = 8 \end{cases} $

Теперь решим эту новую, более простую систему. Из второго уравнения выразим одну переменную через другую, например, $a$ через $b$:

$a = 8 - b$

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(8 - b)^2 + b^2 = 32$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$64 - 16b + b^2 + b^2 = 32$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2b^2 - 16b + 64 - 32 = 0$

$2b^2 - 16b + 32 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$b^2 - 8b + 16 = 0$

Мы видим, что левая часть уравнения является полным квадратом:

$(b - 4)^2 = 0$

Из этого уравнения находим значение $b$:

$b - 4 = 0 \implies b = 4$

Теперь, зная $b$, найдем значение $a$, подставив $b=4$ в выражение $a = 8 - b$:

$a = 8 - 4 \implies a = 4$

Итак, мы нашли решение для вспомогательной системы: $a = 4$ и $b = 4$. Оба значения удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения исходных переменных $x$ и $y$:

$x^2 = a \implies x^2 = 4$

$y^2 = b \implies y^2 = 4$

Решая эти простейшие квадратные уравнения, получаем:

Из $x^2 = 4$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.

Из $y^2 = 4$ следует, что $y = 2$ или $y = -2$.

Комбинируя все возможные значения $x$ и $y$, мы получаем четыре пары решений $(x; y)$, которые являются решениями исходной системы.

Ответ: $(2; 2)$, $(2; -2)$, $(-2; 2)$, $(-2; -2)$.

Сократите дробь (512–514).

512 а) $ \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} $;

б) $ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} $;

В) $ \frac{m^4 - n^4}{m^2 - n^2} $;

Г) $ \frac{a^4 - b^4}{b^2 + a^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} $, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a+b)} $

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$):

$ \frac{\sout{(a-b)}(a^2 + ab + b^2)}{\sout{(a-b)}(a+b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a+b} $

Ответ: $ \frac{a^2 + ab + b^2}{a+b} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель раскладывается по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)^2} $

Сократим общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a \neq -b$):

$ \frac{\sout{(a+b)}(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)^{\sout{2}}} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a+b} $

Ответ: $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a+b} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{m^4 - n^4}{m^2 - n^2} $, разложим числитель на множители.

Числитель $m^4 - n^4$ можно представить как разность квадратов $(m^2)^2 - (n^2)^2$ и разложить по формуле разности квадратов:

$m^4 - n^4 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{m^4 - n^4}{m^2 - n^2} = \frac{(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)}{m^2 - n^2} $

Сократим общий множитель $(m^2 - n^2)$ (при условии, что $m^2 \neq n^2$):

$ \frac{\sout{(m^2 - n^2)}(m^2 + n^2)}{\sout{m^2 - n^2}} = m^2 + n^2 $

Ответ: $ m^2 + n^2 $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^4 - b^4}{b^2 + a^2} $, разложим числитель на множители.

В знаменателе поменяем слагаемые местами для удобства: $b^2 + a^2 = a^2 + b^2$.

Числитель $a^4 - b^4$ раскладывается как разность квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2} = \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} $

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$ (который не равен нулю, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):

$ \frac{(a^2 - b^2)\sout{(a^2 + b^2)}}{\sout{a^2 + b^2}} = a^2 - b^2 $

Ответ: $ a^2 - b^2 $

513 a) $\frac{ac - bc - ad - bd}{ac + bc - ad - bd};$

б) $\frac{xy + 1 + x + y}{xy + x};$

В) $\frac{ac + ad - c^2 - cd}{ax + ay - cx - cy}.$

а)

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе, вероятно, допущена опечатка, и последний член должен быть $+bd$. Решим задачу в предположении, что выражение имеет вид $\frac{ac - bc - ad + bd}{ac + bc - ad - bd}$.

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:
$ac - bc - ad + bd = (ac - bc) - (ad - bd) = c(a - b) - d(a - b) = (a - b)(c - d)$.

Разложим на множители знаменатель:
$ac + bc - ad - bd = (ac + bc) - (ad + bd) = c(a + b) - d(a + b) = (a + b)(c - d)$.

Получаем дробь:
$\frac{(a - b)(c - d)}{(a + b)(c - d)}$

Сокращаем общий множитель $(c - d)$ при условии, что $c \neq d$ :
$\frac{a - b}{a + b}$

Ответ: $\frac{a - b}{a + b}$

б)

Для сокращения дроби $\frac{xy + 1 + x + y}{xy + x}$ разложим ее числитель и знаменатель на множители.

Разложим на множители числитель, предварительно сгруппировав слагаемые:
$xy + 1 + x + y = (xy + x) + (y + 1) = x(y + 1) + 1(y + 1) = (x + 1)(y + 1)$.

Разложим на множители знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:
$xy + x = x(y + 1)$.

Получаем дробь:
$\frac{(x + 1)(y + 1)}{x(y + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(y + 1)$ при условии, что $y \neq -1$ :
$\frac{x + 1}{x}$

Ответ: $\frac{x + 1}{x}$

в)

Для сокращения дроби $\frac{ac + ad - c^2 - cd}{ax + ay - cx - cy}$ разложим ее числитель и знаменатель на множители.

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:
$ac + ad - c^2 - cd = (ac + ad) - (c^2 + cd) = a(c + d) - c(c + d) = (a - c)(c + d)$.

Разложим на множители знаменатель:
$ax + ay - cx - cy = (ax + ay) - (cx + cy) = a(x + y) - c(x + y) = (a - c)(x + y)$.

Получаем дробь:
$\frac{(a - c)(c + d)}{(a - c)(x + y)}$

Сокращаем общий множитель $(a - c)$ при условии, что $a \neq c$ :
$\frac{c + d}{x + y}$

Ответ: $\frac{c + d}{x + y}$

514 a) $ \frac{a^2 + b^2 + 2ab - c^2}{a+b+c} $;

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 2xy - c^2}{x^2 - y^2 - c^2 - 2yc} $;

В) $ \frac{a^3 + ab^2 - 2a^2b}{a^3 - ab^2} $.

а)

Рассмотрим числитель дроби: $a^2 + b^2 + 2ab - c^2$. Сгруппируем первые три слагаемых: $(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $(a+b)^2$. Таким образом, числитель принимает вид $(a+b)^2 - c^2$.
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+b$ и $y = c$.
Получаем: $(a+b-c)(a+b+c)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь: $ \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c} $
Сократим общий множитель $(a+b+c)$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $a+b-c$

б)

Сначала преобразуем числитель: $x^2 + y^2 - 2xy - c^2$. Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2xy + y^2) - c^2$. Выражение в скобках — это формула квадрата разности: $(x-y)^2$. Числитель принимает вид $(x-y)^2 - c^2$.
Применим формулу разности квадратов: $((x-y)-c)((x-y)+c) = (x-y-c)(x-y+c)$.
Теперь преобразуем знаменатель: $x^2 - y^2 - c^2 - 2yc$. Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем минус за скобки: $x^2 - (y^2 + 2yc + c^2)$. Выражение в скобках — это формула квадрата суммы: $(y+c)^2$. Знаменатель принимает вид $x^2 - (y+c)^2$.
Это также разность квадратов, которую разложим на множители: $(x-(y+c))(x+(y+c)) = (x-y-c)(x+y+c)$.
Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $ \frac{(x-y-c)(x-y+c)}{(x-y-c)(x+y+c)} $
Сократим общий множитель $(x-y-c)$.

Ответ: $\frac{x-y+c}{x+y+c}$

в)

Разложим на множители числитель: $a^3 + ab^2 - 2a^2b$. Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a^2 + b^2 - 2ab)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, числитель равен $a(a-b)^2$.
Теперь разложим на множители знаменатель: $a^3 - ab^2$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках — это разность квадратов, которая раскладывается как $(a-b)(a+b)$. Таким образом, знаменатель равен $a(a-b)(a+b)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $ \frac{a(a-b)^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b)(a-b)}{a(a-b)(a+b)} $
Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$.

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

Упростите выражение (515—517).

515 а) $ \frac{1}{x-5} - \frac{9}{x^2-x-20} $

б) $ \frac{1}{a+7} - \frac{10}{21-4a-a^2} $

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{x-5} - \frac{9}{x^2 - x - 20} $, сначала разложим на множители знаменатель второй дроби.

Знаменатель $ x^2 - x - 20 $ является квадратным трехчленом. Найдем его корни, решив уравнение $ x^2 - x - 20 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -20. Легко подобрать корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -4 $.

Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $ x^2 - x - 20 = (x-5)(x+4) $.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$ \frac{1}{x-5} - \frac{9}{(x-5)(x+4)} $

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, которым является $ (x-5)(x+4) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $ (x+4) $:

$ \frac{1 \cdot (x+4)}{(x-5)(x+4)} - \frac{9}{(x-5)(x+4)} = \frac{x+4-9}{(x-5)(x+4)} $

Упростим числитель:

$ \frac{x-5}{(x-5)(x+4)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x-5) $, при условии, что $ x \neq 5 $:

$ \frac{1}{x+4} $

Ответ: $ \frac{1}{x+4} $

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{a+7} - \frac{10}{21 - 4a - a^2} $, разложим на множители знаменатель второй дроби.

Для удобства вынесем -1 за скобки в знаменателе $ 21 - 4a - a^2 $:

$ 21 - 4a - a^2 = -(a^2 + 4a - 21) $

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $ a^2 + 4a - 21 $. Найдем его корни, решив уравнение $ a^2 + 4a - 21 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -21. Корни: $ a_1 = -7 $ и $ a_2 = 3 $.

Значит, $ a^2 + 4a - 21 = (a - (-7))(a-3) = (a+7)(a-3) $.

Таким образом, знаменатель второй дроби равен $ -(a+7)(a-3) $.

Подставим разложение в исходное выражение:

$ \frac{1}{a+7} - \frac{10}{-(a+7)(a-3)} $

Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, что изменит знак операции с вычитания на сложение:

$ \frac{1}{a+7} + \frac{10}{(a+7)(a-3)} $

Общий знаменатель для этих дробей — $ (a+7)(a-3) $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a-3) $:

$ \frac{1 \cdot (a-3)}{(a+7)(a-3)} + \frac{10}{(a+7)(a-3)} = \frac{a-3+10}{(a+7)(a-3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{a+7}{(a+7)(a-3)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+7) $, при условии, что $ a \neq -7 $:

$ \frac{1}{a-3} $

Ответ: $ \frac{1}{a-3} $

516 a)

$(\frac{a-2}{a^2-2a-3} - \frac{a-1}{a^2-a-6})(a^2+3a+2);$

б) $(\frac{b+6}{b^2-4a-5} - \frac{b+5}{b^2-5b-6})(b^2-11b+30).$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала вычитание в скобках, а затем умножение.
1. Разложим на множители знаменатели дробей и многочлен за скобками. Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2+bx+c$ на множители $a(x-x_1)(x-x_2)$, найдем его корни.
Для $a^2-2a-3=0$, корни $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$. Следовательно, $a^2-2a-3 = (a-3)(a+1)$.
Для $a^2-a-6=0$, корни $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2-a-6 = (a-3)(a+2)$.
Для $a^2+3a+2=0$, корни $a_1 = -1$ и $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$.
2. Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$(\frac{a-2}{(a-3)(a+1)} - \frac{a-1}{(a-3)(a+2)}) \cdot (a+1)(a+2)$.
3. Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(a-3)(a+1)(a+2)$:
$\frac{(a-2)(a+2) - (a-1)(a+1)}{(a-3)(a+1)(a+2)} = \frac{(a^2-4) - (a^2-1)}{(a-3)(a+1)(a+2)} = \frac{a^2-4-a^2+1}{(a-3)(a+1)(a+2)} = \frac{-3}{(a-3)(a+1)(a+2)}$.
4. Теперь выполним умножение полученной дроби на многочлен:
$\frac{-3}{(a-3)(a+1)(a+2)} \cdot (a+1)(a+2)$.
5. Сократим общие множители $(a+1)$ и $(a+2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{-3}{a-3} = -\frac{3}{a-3}$.

Ответ: $-\frac{3}{a-3}$.

Примечание: В знаменателе первой дроби $b^2-4a-5$ предположительно допущена опечатка. Исходя из структуры задания, будем считать, что правильный вид знаменателя — $b^2-4b-5$.
1. Разложим на множители знаменатели дробей и многочлен за скобками.
Для $b^2-4b-5=0$, корни $b_1 = 5$ и $b_2 = -1$. Следовательно, $b^2-4b-5 = (b-5)(b+1)$.
Для $b^2-5b-6=0$, корни $b_1 = 6$ и $b_2 = -1$. Следовательно, $b^2-5b-6 = (b-6)(b+1)$.
Для $b^2-11b+30=0$, корни $b_1 = 5$ и $b_2 = 6$. Следовательно, $b^2-11b+30 = (b-5)(b-6)$.
2. Подставим разложения в выражение:
$(\frac{b+6}{(b-5)(b+1)} - \frac{b+5}{(b-6)(b+1)}) \cdot (b-5)(b-6)$.
3. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(b-5)(b-6)(b+1)$ и выполним вычитание. В числителе применим формулу разности квадратов:
$\frac{(b+6)(b-6) - (b+5)(b-5)}{(b-5)(b-6)(b+1)} = \frac{(b^2-36) - (b^2-25)}{(b-5)(b-6)(b+1)} = \frac{b^2-36-b^2+25}{(b-5)(b-6)(b+1)} = \frac{-11}{(b-5)(b-6)(b+1)}$.
4. Выполним умножение:
$\frac{-11}{(b-5)(b-6)(b+1)} \cdot (b-5)(b-6)$.
5. Сократим общие множители $(b-5)$ и $(b-6)$:
$\frac{-11}{b+1} = -\frac{11}{b+1}$.

Ответ: $-\frac{11}{b+1}$.

517 a) $((a^2 - 2)a^{-2} - a^{-1}) : (a + a^{-2});$

б) $(1 + c^{-1} + c^{-2}) : (c^{-2} - c).$

а) Упростим выражение по действиям.
1. Сначала преобразуем делимое $((a^2 - 2)a^{-2} - a^{-1})$. Для этого раскроем скобки и воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(a^2 - 2)a^{-2} - a^{-1} = a^2 \cdot a^{-2} - 2a^{-2} - a^{-1} = a^{2-2} - 2a^{-2} - a^{-1} = a^0 - 2a^{-2} - a^{-1} = 1 - 2a^{-2} - a^{-1}$.
Теперь представим слагаемые с отрицательными степенями в виде дробей и приведем к общему знаменателю $a^2$:
$1 - \frac{2}{a^2} - \frac{1}{a} = \frac{1 \cdot a^2}{a^2} - \frac{2}{a^2} - \frac{1 \cdot a}{a^2} = \frac{a^2 - a - 2}{a^2}$.
2. Теперь преобразуем делитель $(a + a^{-2})$.
$a + a^{-2} = a + \frac{1}{a^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{a^3 + 1}{a^2}$.
3. Выполним деление полученных выражений.
$\frac{a^2 - a - 2}{a^2} : \frac{a^3 + 1}{a^2} = \frac{a^2 - a - 2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^3 + 1} = \frac{a^2 - a - 2}{a^3 + 1}$.
4. Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^2 - a - 2$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. Корни: $a_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ и $a_2 = \frac{1-3}{2} = -1$. Таким образом, $a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$.
Знаменатель $a^3 + 1$ — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.
5. Подставим разложенные многочлены обратно в дробь и сократим общий множитель $(a+1)$.
$\frac{(a-2)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} = \frac{a-2}{a^2 - a + 1}$.
Ответ: $\frac{a-2}{a^2 - a + 1}$.

б) Упростим выражение по действиям.
1. Сначала преобразуем делимое $(1 + c^{-1} + c^{-2})$. Представим слагаемые с отрицательными степенями в виде дробей, используя $c^{-n} = \frac{1}{c^n}$, и приведем к общему знаменателю $c^2$.
$1 + c^{-1} + c^{-2} = 1 + \frac{1}{c} + \frac{1}{c^2} = \frac{1 \cdot c^2}{c^2} + \frac{1 \cdot c}{c^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{c^2 + c + 1}{c^2}$.
2. Теперь преобразуем делитель $(c^{-2} - c)$.
$c^{-2} - c = \frac{1}{c^2} - c = \frac{1}{c^2} - \frac{c \cdot c^2}{c^2} = \frac{1 - c^3}{c^2}$.
3. Выполним деление полученных выражений.
$\frac{c^2 + c + 1}{c^2} : \frac{1 - c^3}{c^2} = \frac{c^2 + c + 1}{c^2} \cdot \frac{c^2}{1 - c^3} = \frac{c^2 + c + 1}{1 - c^3}$.
4. Для упрощения дроби разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $1 - c^3$ — это разность кубов, которую можно разложить по формуле $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$1^3 - c^3 = (1-c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1-c)(1 + c + c^2)$.
5. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(c^2 + c + 1)$.
$\frac{c^2 + c + 1}{(1-c)(c^2 + c + 1)} = \frac{1}{1-c}$.
Ответ: $\frac{1}{1-c}$.

518 Найдите значение выражения:

а) $(1 - y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2)$ при $y = -\frac{3}{2}$; 0,1; -100;

б) $(a + b)^2 + (a - b)^2 - (2a + b)(a + 2b)$ при $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{5}$; $a = 0,2$ и $b = 10$; $a = -5$ и $b = -\frac{1}{125}$.

а)

Сначала упростим данное выражение: $(1 - y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2)$.
Для этого вынесем общий множитель $(1 + y^2)$ за скобки:
$(1 + y^2) \cdot ((1 - y) + (1 + y))$
Теперь упростим выражение во вторых скобках:
$1 - y + 1 + y = 2$
Таким образом, исходное выражение равно $2(1 + y^2)$.
Теперь подставим заданные значения $y$ в это упрощенное выражение.

1. При $y = -\frac{3}{2}$:
$2(1 + (-\frac{3}{2})^2) = 2(1 + \frac{9}{4}) = 2(\frac{4}{4} + \frac{9}{4}) = 2 \cdot \frac{13}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6,5$.

2. При $y = 0,1$:
$2(1 + (0,1)^2) = 2(1 + 0,01) = 2 \cdot 1,01 = 2,02$.

3. При $y = -100$:
$2(1 + (-100)^2) = 2(1 + 10000) = 2 \cdot 10001 = 20002$.

Ответ: при $y = -\frac{3}{2}$ значение равно $6,5$; при $y = 0,1$ значение равно $2,02$; при $y = -100$ значение равно $20002$.

б)

Сначала упростим данное выражение: $(a + b)^2 + (a - b)^2 - (2a + b)(a + 2b)$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности, а также правило умножения многочленов:
$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) - (2a \cdot a + 2a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot 2b)$
$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) - (2a^2 + 4ab + ab + 2b^2)$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 - 2a^2 - 5ab - 2b^2$
$(a^2 + a^2 - 2a^2) + (2ab - 2ab - 5ab) + (b^2 + b^2 - 2b^2) = -5ab$.
Таким образом, исходное выражение равно $-5ab$.
Теперь подставим заданные значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение.

1. При $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{5}$:
$-5ab = -5 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{5} = (-5 \cdot \frac{1}{5}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -1 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

2. При $a = 0,2$ и $b = 10$:
$-5ab = -5 \cdot 0,2 \cdot 10 = -1 \cdot 10 = -10$.

3. При $a = -5$ и $b = -\frac{1}{125}$:
$-5ab = -5 \cdot (-5) \cdot (-\frac{1}{125}) = 25 \cdot (-\frac{1}{125}) = -\frac{25}{125} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: при $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{5}$ значение равно $\frac{1}{3}$; при $a = 0,2$ и $b = 10$ значение равно $-10$; при $a = -5$ и $b = -\frac{1}{125}$ значение равно $-\frac{1}{5}$.