Страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите систему уравнений разными способами (508–509).

508

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases}$

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 1.

Данную систему уравнений можно решить несколькими способами. Рассмотрим три из них.

Способ 1: Метод подстановки

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$. Так как $xy = 20$, очевидно, что $x \neq 0$, поэтому мы можем разделить на $x$: $$ y = \frac{20}{x} $$ Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ x^2 + \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 41 $$ $$ x^2 + \frac{400}{x^2} = 41 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2$ (поскольку $x^2 \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $$ (x^2)^2 + 400 = 41x^2 $$ $$ (x^2)^2 - 41x^2 + 400 = 0 $$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t > 0$. Уравнение примет вид: $$ t^2 - 41t + 400 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16 $$ Оба значения $t$ положительны, поэтому подходят под условие $t > 0$. Вернемся к переменной $x$:
1. Если $t_1 = 25$, то $x^2 = 25$, откуда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
2. Если $t_2 = 16$, то $x^2 = 16$, откуда $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = \frac{20}{x}$:
- При $x_1 = 5$, $y_1 = \frac{20}{5} = 4$. Получаем решение $(5, 4)$.
- При $x_2 = -5$, $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$. Получаем решение $(-5, -4)$.
- При $x_3 = 4$, $y_3 = \frac{20}{4} = 5$. Получаем решение $(4, 5)$.
- При $x_4 = -4$, $y_4 = \frac{20}{-4} = -5$. Получаем решение $(-4, -5)$.

Ответ: $(5, 4)$, $(-5, -4)$, $(4, 5)$, $(-4, -5)$.

Способ 2: Использование симметрии системы

Данная система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать формулы сокращенного умножения для $(x+y)^2$ и $(x-y)^2$. $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} $$ Умножим второе уравнение на 2: $$ 2xy = 40 $$ Теперь сложим это уравнение с первым уравнением системы: $$ (x^2 + y^2) + 2xy = 41 + 40 $$ $$ x^2 + 2xy + y^2 = 81 $$ $$ (x+y)^2 = 81 $$ Отсюда следует, что $x+y = 9$ или $x+y = -9$.
Теперь вычтем уравнение $2xy=40$ из первого уравнения системы: $$ (x^2 + y^2) - 2xy = 41 - 40 $$ $$ x^2 - 2xy + y^2 = 1 $$ $$ (x-y)^2 = 1 $$ Отсюда следует, что $x-y = 1$ или $x-y = -1$.
Теперь мы имеем четыре системы линейных уравнений:
1) $\begin{cases} x+y = 9 \\ x-y = 1 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2x = 10$, т.е. $x=5$. Тогда $y = 9-x = 9-5=4$. Решение: $(5, 4)$.
2) $\begin{cases} x+y = 9 \\ x-y = -1 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2x = 8$, т.е. $x=4$. Тогда $y = 9-x = 9-4=5$. Решение: $(4, 5)$.
3) $\begin{cases} x+y = -9 \\ x-y = 1 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2x = -8$, т.е. $x=-4$. Тогда $y = -9-x = -9-(-4)=-5$. Решение: $(-4, -5)$.
4) $\begin{cases} x+y = -9 \\ x-y = -1 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2x = -10$, т.е. $x=-5$. Тогда $y = -9-x = -9-(-5)=-4$. Решение: $(-5, -4)$.

Ответ: $(5, 4)$, $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(-5, -4)$.

Способ 3: Метод введения новых переменных (теорема Виета)

Воспользуемся тем, что система является симметрической. Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = xy$. Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $$ x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v $$ Теперь перепишем исходную систему в новых переменных: $$ \begin{cases} u^2 - 2v = 41 \\ v = 20 \end{cases} $$ Подставим значение $v=20$ из второго уравнения в первое: $$ u^2 - 2 \cdot 20 = 41 $$ $$ u^2 - 40 = 41 $$ $$ u^2 = 81 $$ Отсюда $u = 9$ или $u = -9$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Мы получили две системы:
1) $\begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 20 \end{cases}$
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$. Подставим наши значения: $$ z^2 - 9z + 20 = 0 $$ Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$. Корни: $z_1 = \frac{9+1}{2} = 5$ и $z_2 = \frac{9-1}{2} = 4$. Это означает, что пара $(x, y)$ может быть $(5, 4)$ или $(4, 5)$.
2) $\begin{cases} x+y = -9 \\ xy = 20 \end{cases}$
Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями уравнения: $$ z^2 - (-9)z + 20 = 0 $$ $$ z^2 + 9z + 20 = 0 $$ Решим это уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$. Корни: $z_1 = \frac{-9+1}{2} = -4$ и $z_2 = \frac{-9-1}{2} = -5$. Это означает, что пара $(x, y)$ может быть $(-4, -5)$ или $(-5, -4)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(5, 4)$, $(4, 5)$, $(-4, -5)$, $(-5, -4)$.

509 $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17 \\ xy = -2. \end{cases} $

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 2.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Воспользуемся тождеством, связывающим сумму четвертых степеней с суммой квадратов: $x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$. Это тождество можно переписать как:

$$ x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 = 17 $$

Из второго уравнения системы нам известно, что $xy = -2$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$$ (x^2+y^2)^2 - 2(-2)^2 = 17 $$

Выполним вычисления:

$$ (x^2+y^2)^2 - 2(4) = 17 $$

$$ (x^2+y^2)^2 - 8 = 17 $$

$$ (x^2+y^2)^2 = 25 $$

Из этого уравнения следует, что $x^2+y^2$ может принимать два значения: $x^2+y^2 = 5$ или $x^2+y^2 = -5$.

Рассмотрим случай, когда $x^2+y^2 = -5$. Так как мы ищем решения в действительных числах, а квадраты действительных чисел ($x^2$ и $y^2$) не могут быть отрицательными, их сумма также не может быть отрицательной. Следовательно, уравнение $x^2+y^2 = -5$ не имеет решений в действительных числах.

Остается рассмотреть случай, когда $x^2+y^2 = 5$. Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 5 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.

Подставим известные значения $x^2+y^2=5$ и $xy=-2$:

$$ (x+y)^2 = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1 $$

Отсюда получаем два возможных значения для суммы $x+y$: $x+y = 1$ или $x+y = -1$. Это приводит нас к двум системам уравнений, которые решаются с помощью теоремы Виета.

Случай 1: $x+y = 1$ и $xy = -2$.

Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$$ t^2 - t - 2 = 0 $$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$. Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(2; -1)$ и $(-1; 2)$.

Случай 2: $x+y = -1$ и $xy = -2$.

Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$$ t^2 - (-1)t - 2 = 0 \implies t^2 + t - 2 = 0 $$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(1; -2)$ и $(-2; 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений для исходной системы.

Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$, $(1; -2)$, $(-2; 1)$.