Страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

553 а) $\begin{cases} xy = 3 \\ (x+1)(y+1) = 8 \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = -4 \\ (x+1)(y-1) = -10 \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 3 \\ (x+1)(y+1) = 8 \end{cases} $

Раскроем скобки во втором уравнении системы:

$(x+1)(y+1) = xy + x + y + 1$

Подставим это выражение обратно во второе уравнение:

$xy + x + y + 1 = 8$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $xy = 3$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 + x + y + 1 = 8$

$x + y + 4 = 8$

$x + y = 8 - 4$

$x + y = 4$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения $x+y=4$ и $xy=3$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3); (3, 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = -4 \\ (x+1)(y-1) = -10 \end{cases} $

Раскроем скобки во втором уравнении системы:

$(x+1)(y-1) = xy - x + y - 1$

Подставим это выражение обратно во второе уравнение:

$xy - x + y - 1 = -10$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $xy = -4$. Подставим это значение:

$-4 - x + y - 1 = -10$

$-x + y - 5 = -10$

$y - x = -10 + 5$

$y - x = -5$

Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы $xy = -4$:

$x(x - 5) = -4$

$x^2 - 5x = -4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = x - 5$.

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 5 = -1$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 5 = -4$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(4, -1)$ и $(1, -4)$.

Ответ: $(4, -1); (1, -4)$.

554 Решите систему уравнений $ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 18 \\ (x-1)(y-2) = 9 \end{cases} $ с помощью подходящей замены.

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом замены переменных, как предложено в условии. Исходная система:

Введем новые переменные: пусть $a = x - 1$ и $b = y - 2$. Тогда система примет вид:

Для решения полученной системы воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Подставим в него известные значения из системы:

$(a+b)^2 = 18 + 2 \cdot 9 = 18 + 18 = 36$.

Из этого уравнения находим, что $a+b = 6$ или $a+b = -6$. Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. $a+b=6$ и $ab=9$.

По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 9 = 0$. Это уравнение является полным квадратом: $(t-3)^2 = 0$. Следовательно, уравнение имеет один корень $t=3$. Таким образом, $a=3$ и $b=3$.

Случай 2. $a+b=-6$ и $ab=9$.

Аналогично, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-6)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 9 = 0$. Это также полный квадрат: $(t+3)^2 = 0$. Корень этого уравнения $t=-3$. Таким образом, $a=-3$ и $b=-3$.

Итак, мы получили две пары значений для $(a, b)$: $(3, 3)$ и $(-3, -3)$. Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$, зная что $x = a + 1$ и $y = b + 2$.

Для пары $(a, b) = (3, 3)$ получаем:

$x = 3 + 1 = 4$

$y = 3 + 2 = 5$

Первое решение: $(4, 5)$.

Для пары $(a, b) = (-3, -3)$ получаем:

$x = -3 + 1 = -2$

$y = -3 + 2 = -1$

Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-2, -1)$.

555 Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = \frac{8}{x-1}$ и $y = x+1$;

б) $y = x$ и $y = \frac{12}{x+4}$.

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x-1}$ и $y = x + 1$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $x$ и $y$ совпадают.

$\frac{8}{x-1} = x + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на $(x-1)$, чтобы избавиться от дроби:

$8 = (x + 1)(x - 1)$

В правой части уравнения находится формула разности квадратов:

$8 = x^2 - 1^2$

$8 = x^2 - 1$

$x^2 = 8 + 1$

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Оба найденных корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq 1$).

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = x + 1$.

При $x_1 = 3$:

$y_1 = 3 + 1 = 4$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(3, 4)$.

При $x_2 = -3$:

$y_2 = -3 + 1 = -2$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 4)$ и $(-3, -2)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = x$ и $y = \frac{12}{x+4}$, приравняем их правые части.

$x = \frac{12}{x+4}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на $(x+4)$:

$x(x + 4) = 12$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -12$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq -4$).

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя более простое уравнение $y = x$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(2, 2)$.

При $x_2 = -6$:

$y_2 = -6$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-6, -6)$.

Ответ: $(2, 2)$ и $(-6, -6)$.

556 При каких значениях p система уравнений имеет решение:

а) $\begin{cases}x - y = 7 \\2x + 3y = -1 \\0.5x + 2y = p\end{cases}$

б) $\begin{cases}y - 2x = 3 \\3x - 2y = -7 \\x + y = p\end{cases}$

a) Чтобы данная система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными имела решение, необходимо, чтобы все три прямые, являющиеся графиками этих уравнений, пересекались в одной точке. Найдем точку пересечения, решив систему из первых двух уравнений, которые не содержат параметр $p$:

$$ \begin{cases} x - y = 7 \\ 2x + 3y = -1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 7 + y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(7 + y) + 3y = -1$

$14 + 2y + 3y = -1$

$5y = -1 - 14$

$5y = -15$

$y = -3$

Теперь, зная $y$, найдем $x$:

$x = 7 + (-3) = 4$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(4; -3)$. Чтобы вся система была совместна (имела решение), эта точка должна удовлетворять и третьему уравнению. Подставим найденные значения $x=4$ и $y=-3$ в третье уравнение:

$0,5x + 2y = p$

$0,5 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = p$

$2 - 6 = p$

$p = -4$

Ответ: при $p = -4$.

б) Действуем по аналогии с пунктом а). Решим систему из первых двух уравнений:

$$ \begin{cases} y - 2x = 3 \\ 3x - 2y = -7 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2x + 3$. Подставим это во второе уравнение:

$3x - 2(2x + 3) = -7$

$3x - 4x - 6 = -7$

$-x = -7 + 6$

$-x = -1$

$x = 1$

Теперь найдем $y$:

$y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$

Точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1; 5)$. Подставим эти значения в третье уравнение, чтобы найти $p$:

$x + y = p$

$1 + 5 = p$

$p = 6$

Ответ: при $p = 6$.

557 Найдите значение $c$, при котором прямые $4x + 5y = 10$ и $2x - y = c$ пересекаются в точке, принадлежащей:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат.

а) оси абсцисс

Если точка пересечения прямых принадлежит оси абсцисс (оси Ox), то ее ордината (координата y) равна нулю, то есть $y = 0$.
Чтобы найти абсциссу (координату x) точки пересечения, подставим $y=0$ в уравнение первой прямой $4x + 5y = 10$:
$4x + 5 \cdot 0 = 10$
$4x = 10$
$x = \frac{10}{4} = 2.5$
Следовательно, координаты точки пересечения: $(2.5; 0)$.
Так как эта точка также принадлежит второй прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению $2x - y = c$. Подставим найденные значения $x$ и $y$ в это уравнение, чтобы найти $c$:
$2 \cdot 2.5 - 0 = c$
$5 - 0 = c$
$c = 5$
Ответ: $c = 5$.

б) оси ординат

Если точка пересечения прямых принадлежит оси ординат (оси Oy), то ее абсцисса (координата x) равна нулю, то есть $x = 0$.
Чтобы найти ординату (координату y) точки пересечения, подставим $x=0$ в уравнение первой прямой $4x + 5y = 10$:
$4 \cdot 0 + 5y = 10$
$5y = 10$
$y = \frac{10}{5} = 2$
Следовательно, координаты точки пересечения: $(0; 2)$.
Подставим координаты этой точки во второе уравнение $2x - y = c$, чтобы найти $c$:
$2 \cdot 0 - 2 = c$
$0 - 2 = c$
$c = -2$
Ответ: $c = -2$.

558 1) Докажите алгебраическим методом, что система уравнений $\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$ имеет решение, и притом только одно. Дайте графическую иллюстрацию данного утверждения.

2) Найдите такое значение $r$, при котором система уравнений $\begin{cases} x - y = -3 \\ x + 2y = 6 \\ x^2 + y^2 = r^2 \end{cases}$ имеет решение.

1)

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $$

Для нахождения решения сначала решим подсистему из первых двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

Сложив эти два уравнения, получаем:

$$(2x - y) + (x + y) = 4 + 2$$

$$3x = 6$$

$$x = 2$$

Подставим значение $x=2$ во второе уравнение $x+y=2$:

$$2 + y = 2$$

$$y = 0$$

Таким образом, единственным решением подсистемы линейных уравнений является точка $(2, 0)$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта точка третьему уравнению системы $x^2 + y^2 = 4$:

$$2^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$$

Равенство $4=4$ верно. Поскольку единственное решение первых двух уравнений также является решением третьего уравнения, вся система имеет единственное решение.

Графическая иллюстрация

В координатной плоскости каждое уравнение задает геометрическую фигуру:

$2x - y = 4$ (или $y = 2x - 4$) — это прямая.

$x + y = 2$ (или $y = -x + 2$) — это вторая прямая.

$x^2 + y^2 = 4$ — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r=\sqrt{4}=2$.

Решение системы — это точка, общая для всех трех фигур. Две прямые пересекаются в точке $(2, 0)$, как мы выяснили ранее. Эта точка также лежит на окружности, так как расстояние от нее до центра $(0,0)$ равно 2. Таким образом, все три графика пересекаются в единственной точке $(2, 0)$, что и иллюстрирует единственность решения.

Ответ: Доказано, что система имеет единственное решение $(2, 0)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = -3 \\ x + 2y = 6 \\ x^2 + y^2 = r^2 \end{cases} $$

Система имеет решение, если точка пересечения первых двух прямых лежит на окружности, заданной третьим уравнением. Найдем эту точку пересечения, решив систему:

$$ \begin{cases} x - y = -3 \\ x + 2y = 6 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(y - 3) + 2y = 6$$

$$3y - 3 = 6$$

$$3y = 9$$

$$y = 3$$

Теперь найдем $x$:

$$x = 3 - 3 = 0$$

Точка пересечения прямых — $(0, 3)$.

Чтобы система имела решение, эта точка должна удовлетворять третьему уравнению $x^2 + y^2 = r^2$. Подставим в него координаты точки:

$$0^2 + 3^2 = r^2$$

$$9 = r^2$$

Поскольку $r$ в уравнении окружности обозначает радиус, его значение должно быть неотрицательным ($r \ge 0$). Следовательно, $r = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $r=3$.

559 На рисунке 3.28 изображены графики уравнений $(y - 0,5x^2)(y - 2) = 0$ и $\frac{y - 0,5x^2}{y - 2} = 0$.

График первого уравнения состоит из параболы $y = 0,5x^2$ и прямой $y = 2$, т. е. он является их объединением.

Рис. 3.28

График второго уравнения — это парабола $y = 0,5x^2$ без точек, принадлежащих прямой $y = 2$.

Рассуждая аналогично, постройте графики уравнений:

а) $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - x^2) = 0, \frac{x^2 + y^2 - 4}{y^2 - x^2} = 0, \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0;$

б) $(xy - 2)(y - 2x) = 0, \frac{xy - 2}{y - 2x} = 0, \frac{y - 2x}{xy - 2} = 0.$

а)

Анализируем графики для трех заданных уравнений.

1. $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - x^2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, график этого уравнения является объединением графиков двух уравнений:

• $x^2 + y^2 - 4 = 0$, или $x^2 + y^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.
• $y^2 - x^2 = 0$, или $y^2 = x^2$, что равносильно совокупности $y = x$ и $y = -x$. Это пара прямых, являющихся биссектрисами координатных углов.

Таким образом, график представляет собой окружность радиуса 2 с центром в начале координат и две прямые $y=x$ и $y=-x$, проходящие через центр этой окружности.

2. $\frac{x^2 + y^2 - 4}{y^2 - x^2} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это означает, что должны выполняться следующие условия:

• $x^2 + y^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 4$
• $y^2 - x^2 \neq 0 \Rightarrow y \neq x$ и $y \neq -x$

Графиком является окружность $x^2 + y^2 = 4$, из которой исключены точки, лежащие на прямых $y = x$ и $y = -x$. Найдем координаты этих точек, решив систему уравнений:

Для $y = x$: $x^2 + x^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Для $y = -x$: $x^2 + (-x)^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Следовательно, график — это окружность $x^2+y^2=4$ с четырьмя выколотыми точками: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

3. $\frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0$

Аналогично, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет:

• $y^2 - x^2 = 0 \Rightarrow y = x$ или $y = -x$
• $x^2 + y^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \neq 4$

Графиком является пара прямых $y = x$ и $y = -x$, из которых исключены точки их пересечения с окружностью $x^2+y^2=4$. Координаты этих точек были найдены в предыдущем пункте.

Следовательно, график — это две прямые $y=x$ и $y=-x$, на каждой из которых выколото по две точки: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ на прямой $y=x$ и $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ на прямой $y=-x$.

Ответ: Для $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - x^2) = 0$ график — объединение окружности $x^2 + y^2 = 4$ и прямых $y=x$, $y=-x$. Для $\frac{x^2 + y^2 - 4}{y^2 - x^2} = 0$ график — окружность $x^2 + y^2 = 4$ с выколотыми точками $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Для $\frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0$ график — прямые $y=x$ и $y=-x$, из которых исключены точки их пересечения с окружностью $x^2 + y^2 = 4$.

б)

Анализируем графики для трех заданных уравнений.

1. $(xy - 2)(y - 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. График является объединением графиков двух уравнений:

• $xy - 2 = 0$, или $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат $Ox$ и $Oy$.
• $y - 2x = 0$, или $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $k=2$.

Таким образом, график представляет собой объединение гиперболы $y=\frac{2}{x}$ и прямой $y=2x$.

2. $\frac{xy - 2}{y - 2x} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

• $xy - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{x}$
• $y - 2x \neq 0 \Rightarrow y \neq 2x$

Графиком является гипербола $y = \frac{2}{x}$, из которой исключены точки ее пересечения с прямой $y=2x$. Найдем эти точки:

Приравняем правые части: $\frac{2}{x} = 2x \Rightarrow 2 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$.

Если $x=1$, то $y=2(1)=2$. Точка $(1, 2)$.

Если $x=-1$, то $y=2(-1)=-2$. Точка $(-1, -2)$.

Следовательно, график — это гипербола $y=\frac{2}{x}$ с двумя выколотыми точками: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

3. $\frac{y - 2x}{xy - 2} = 0$

Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет:

• $y - 2x = 0 \Rightarrow y = 2x$
• $xy - 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{2}{x}$

Графиком является прямая $y = 2x$, из которой исключены точки ее пересечения с гиперболой $y=\frac{2}{x}$. Как мы нашли в предыдущем пункте, это точки $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Следовательно, график — это прямая $y=2x$ с двумя выколотыми точками: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: Для $(xy - 2)(y - 2x) = 0$ график — объединение гиперболы $y = \frac{2}{x}$ и прямой $y = 2x$. Для $\frac{xy - 2}{y - 2x} = 0$ график — гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, -2)$. Для $\frac{y - 2x}{xy - 2} = 0$ график — прямая $y = 2x$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.