Номер 553, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 553, страница 211.

553 а) $\begin{cases} xy = 3 \\ (x+1)(y+1) = 8 \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = -4 \\ (x+1)(y-1) = -10 \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 3 \\ (x+1)(y+1) = 8 \end{cases} $

Раскроем скобки во втором уравнении системы:

$(x+1)(y+1) = xy + x + y + 1$

Подставим это выражение обратно во второе уравнение:

$xy + x + y + 1 = 8$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $xy = 3$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 + x + y + 1 = 8$

$x + y + 4 = 8$

$x + y = 8 - 4$

$x + y = 4$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения $x+y=4$ и $xy=3$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3); (3, 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = -4 \\ (x+1)(y-1) = -10 \end{cases} $

Раскроем скобки во втором уравнении системы:

$(x+1)(y-1) = xy - x + y - 1$

Подставим это выражение обратно во второе уравнение:

$xy - x + y - 1 = -10$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $xy = -4$. Подставим это значение:

$-4 - x + y - 1 = -10$

$-x + y - 5 = -10$

$y - x = -10 + 5$

$y - x = -5$

Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы $xy = -4$:

$x(x - 5) = -4$

$x^2 - 5x = -4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = x - 5$.

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 5 = -1$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 5 = -4$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(4, -1)$ и $(1, -4)$.

Ответ: $(4, -1); (1, -4)$.