Номер 552, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 552, страница 210.

552 a) $\begin{cases} (x-2)(y-2) = -1 \\ x+y=4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x-y=4 \\ (x-1)(y+1)=-1. \end{cases}$

Указание. а) Представьте первое уравнение в виде

$xy - 2(x + y) + 4 = -1.$

Далее используйте условие $x + y = 4.$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x-2)(y-2) = -1 \\ x+y = 4 \end{cases} $

Следуя указанию, раскроем скобки в первом уравнении системы:

$(x-2)(y-2) = xy - 2x - 2y + 4 = xy - 2(x+y) + 4$.

После раскрытия скобок первое уравнение примет вид:

$xy - 2(x+y) + 4 = -1$.

Теперь используем второе уравнение системы, $x+y=4$, и подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$xy - 2(4) + 4 = -1$

$xy - 8 + 4 = -1$

$xy - 4 = -1$

$xy = 3$.

Таким образом, исходная система уравнений равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} x+y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим в него значения суммы и произведения:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

$t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ (x-1)(y+1) = -1 \end{cases} $

Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки во втором уравнении:

$(x-1)(y+1) = xy + x - y - 1 = xy + (x-y) - 1$.

После преобразования второе уравнение примет вид:

$xy + (x-y) - 1 = -1$.

Теперь подставим в него значение $x-y$ из первого уравнения системы, то есть $x-y=4$:

$xy + 4 - 1 = -1$

$xy + 3 = -1$

$xy = -4$.

Теперь исходная система уравнений равносильна следующей системе:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ xy = -4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 4$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y+4)y = -4$

$y^2 + 4y = -4$

$y^2 + 4y + 4 = 0$.

Полученное уравнение является полным квадратом:

$(y+2)^2 = 0$.

Отсюда находим единственное значение для $y$:

$y+2=0 \Rightarrow y = -2$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=-2$ в выражение $x=y+4$:

$x = -2 + 4 = 2$.

Таким образом, система имеет единственное решение $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.