Номер 548, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 548, страница 210.

548 Туристский маршрут состоит из двух участков: 9 км подъёма и 12 км спуска. При подъёме скорость туристов на 3 км/ч меньше, чем при спуске, а их средняя скорость на всём маршруте равна 4,2 км/ч. Чему равна скорость туристов при спуске?

Обозначим искомую скорость туристов при спуске за $x$ км/ч. По условию задачи, скорость при подъёме на 3 км/ч меньше, следовательно, она составляет $(x - 3)$ км/ч. Так как скорость движения не может быть отрицательной или равной нулю, должно выполняться условие $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.

Определим общее расстояние и общее время движения туристов.
Общее расстояние маршрута: $S_{общ} = 9 \text{ км (подъём)} + 12 \text{ км (спуск)} = 21 \text{ км}$.

Время движения на каждом участке находится по формуле $t = \frac{S}{v}$ (время = расстояние / скорость):
Время на подъём: $t_{подъём} = \frac{9}{x - 3}$ ч.
Время на спуск: $t_{спуск} = \frac{12}{x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь маршрут:$T_{общ} = t_{подъём} + t_{спуск} = \frac{9}{x - 3} + \frac{12}{x}$ ч.

Средняя скорость на всём маршруте ($v_{ср}$) вычисляется как отношение общего расстояния к общему времени: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$. По условию $v_{ср} = 4,2$ км/ч. Составим уравнение:

$4,2 = \frac{21}{\frac{9}{x - 3} + \frac{12}{x}}$

Для решения уравнения сначала преобразуем знаменатель в правой части, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{9}{x - 3} + \frac{12}{x} = \frac{9x + 12(x - 3)}{x(x - 3)} = \frac{9x + 12x - 36}{x^2 - 3x} = \frac{21x - 36}{x^2 - 3x}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$4,2 = \frac{21}{\frac{21x - 36}{x^2 - 3x}}$

Упростим "трёхэтажную" дробь:

$4,2 = \frac{21(x^2 - 3x)}{21x - 36}$

Представим $4,2$ в виде обыкновенной дроби: $4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$.

$\frac{21}{5} = \frac{21(x^2 - 3x)}{21x - 36}$

Разделим обе части уравнения на 21:

$\frac{1}{5} = \frac{x^2 - 3x}{21x - 36}$

Воспользуемся правилом пропорции ("крест-накрест"):

$1 \cdot (21x - 36) = 5 \cdot (x^2 - 3x)$

$21x - 36 = 5x^2 - 15x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 15x - 21x + 36 = 0$

$5x^2 - 36x + 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 1296 - 720 = 576$

Найдём корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1,2$

Проверим полученные корни на соответствие ранее установленному ограничению $x > 3$:
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию ($6 > 3$), поэтому он является решением. Скорость на подъёме в этом случае будет $6-3=3$ км/ч.
Корень $x_2 = 1,2$ не удовлетворяет условию ($1,2 \ngtr 3$). При такой скорости спуска скорость на подъёме была бы отрицательной, что лишено физического смысла. Этот корень является посторонним.

Следовательно, скорость туристов при спуске составляет 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.