Номер 544, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 544, страница 209.

544 Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого, поэтому в город $B$ он приехал на 1 ч 15 мин позже другого велосипедиста. Сколько времени затратил на первые 12 км пути велосипедист, который ехал с меньшей скоростью?

Пусть $x$ км/ч - скорость более быстрого велосипедиста. Тогда скорость более медленного велосипедиста, который ехал медленнее, равна $(x - 4)$ км/ч.

Расстояние между городами А и В составляет 60 км. Время, которое затратил на весь путь быстрый велосипедист, равно $t_1 = \frac{60}{x}$ ч. Время, которое затратил медленный велосипедист, равно $t_2 = \frac{60}{x-4}$ ч.

По условию, медленный велосипедист приехал на 1 час 15 минут позже. Переведем разницу во времени в часы:

1 ч 15 мин = $1 + \frac{15}{60}$ ч = $1 + \frac{1}{4}$ ч = $1.25$ ч, или $\frac{5}{4}$ ч.

Разница во времени $t_2 - t_1$ позволяет нам составить уравнение:

$\frac{60}{x-4} - \frac{60}{x} = \frac{5}{4}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{12}{x-4} - \frac{12}{x} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{12x - 12(x-4)}{x(x-4)} = \frac{1}{4}$

$\frac{12x - 12x + 48}{x^2 - 4x} = \frac{1}{4}$

$\frac{48}{x^2 - 4x} = \frac{1}{4}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$x^2 - 4x = 48 \cdot 4$

$x^2 - 4x = 192$

$x^2 - 4x - 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-(-4) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость быстрого велосипедиста равна 16 км/ч.

Теперь найдем скорость медленного велосипедиста:

$16 - 4 = 12$ км/ч.

Нам нужно найти, сколько времени затратил велосипедист с меньшей скоростью на первые 12 км пути. Для этого разделим расстояние на его скорость:

Время = $\frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{12 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 1$ час.

Ответ: 1 час.