Номер 550, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 550, страница 210.

Решите систему уравнений (550–553).

550 a) $$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x + y) = 32 \\ x - y = 2; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x - y) = 20 \\ x + y = 5. \end{cases} $$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x + y) = 32 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первого уравнения:

$(x - y)(x + y)(x + y) = 32$

Упростим выражение:

$(x - y)(x + y)^2 = 32$

Из второго уравнения системы известно, что $x - y = 2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$2 \cdot (x + y)^2 = 32$

Разделим обе части уравнения на 2:

$(x + y)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что выражение $x+y$ может принимать два значения:

$x + y = 4$ или $x + y = -4$

Теперь необходимо решить две системы линейных уравнений.

1. Решим первую систему:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 4 + 2$, что дает $2x = 6$, откуда $x = 3$.

Подставим значение $x=3$ в первое уравнение $x+y=4$: $3 + y = 4$, откуда $y = 1$.

Таким образом, первое решение: $(3, 1)$.

2. Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = -4 + 2$, что дает $2x = -2$, откуда $x = -1$.

Подставим значение $x=-1$ в первое уравнение $x+y=-4$: $-1 + y = -4$, откуда $y = -3$.

Таким образом, второе решение: $(-1, -3)$.

Ответ: $(3, 1), (-1, -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x^2 - y^2)(x - y) = 20 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Разложим выражение $x^2 - y^2$ в первом уравнении на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - y)(x + y)(x - y) = 20$

Упростим выражение:

$(x - y)^2(x + y) = 20$

Из второго уравнения системы известно, что $x + y = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y)^2 \cdot 5 = 20$

Разделим обе части уравнения на 5:

$(x - y)^2 = 4$

Из этого уравнения следует, что выражение $x-y$ может принимать два значения:

$x - y = 2$ или $x - y = -2$

Теперь решим две соответствующие системы линейных уравнений.

1. Решим первую систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 + 2$, что дает $2x = 7$, откуда $x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Подставим значение $x=3.5$ в первое уравнение $x+y=5$: $3.5 + y = 5$, откуда $y = 1.5$.

Первое решение: $(3.5, 1.5)$.

2. Решим вторую систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -2 \end{cases} $

Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 5 - 2$, что дает $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Подставим значение $x=1.5$ в первое уравнение $x+y=5$: $1.5 + y = 5$, откуда $y = 3.5$.

Второе решение: $(1.5, 3.5)$.

Ответ: $(3.5, 1.5), (1.5, 3.5)$.