Номер 555, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 555, страница 211.

555 Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = \frac{8}{x-1}$ и $y = x+1$;

б) $y = x$ и $y = \frac{12}{x+4}$.

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x-1}$ и $y = x + 1$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $x$ и $y$ совпадают.

$\frac{8}{x-1} = x + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на $(x-1)$, чтобы избавиться от дроби:

$8 = (x + 1)(x - 1)$

В правой части уравнения находится формула разности квадратов:

$8 = x^2 - 1^2$

$8 = x^2 - 1$

$x^2 = 8 + 1$

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Оба найденных корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq 1$).

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = x + 1$.

При $x_1 = 3$:

$y_1 = 3 + 1 = 4$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(3, 4)$.

При $x_2 = -3$:

$y_2 = -3 + 1 = -2$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 4)$ и $(-3, -2)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = x$ и $y = \frac{12}{x+4}$, приравняем их правые части.

$x = \frac{12}{x+4}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на $(x+4)$:

$x(x + 4) = 12$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -4$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -12$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq -4$).

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя более простое уравнение $y = x$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(2, 2)$.

При $x_2 = -6$:

$y_2 = -6$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-6, -6)$.

Ответ: $(2, 2)$ и $(-6, -6)$.