Номер 559, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 559, страница 211.

559 На рисунке 3.28 изображены графики уравнений $(y - 0,5x^2)(y - 2) = 0$ и $\frac{y - 0,5x^2}{y - 2} = 0$.

График первого уравнения состоит из параболы $y = 0,5x^2$ и прямой $y = 2$, т. е. он является их объединением.

Рис. 3.28

График второго уравнения — это парабола $y = 0,5x^2$ без точек, принадлежащих прямой $y = 2$.

Рассуждая аналогично, постройте графики уравнений:

а) $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - x^2) = 0, \frac{x^2 + y^2 - 4}{y^2 - x^2} = 0, \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0;$

б) $(xy - 2)(y - 2x) = 0, \frac{xy - 2}{y - 2x} = 0, \frac{y - 2x}{xy - 2} = 0.$

а)

Анализируем графики для трех заданных уравнений.

1. $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - x^2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, график этого уравнения является объединением графиков двух уравнений:

• $x^2 + y^2 - 4 = 0$, или $x^2 + y^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.
• $y^2 - x^2 = 0$, или $y^2 = x^2$, что равносильно совокупности $y = x$ и $y = -x$. Это пара прямых, являющихся биссектрисами координатных углов.

Таким образом, график представляет собой окружность радиуса 2 с центром в начале координат и две прямые $y=x$ и $y=-x$, проходящие через центр этой окружности.

2. $\frac{x^2 + y^2 - 4}{y^2 - x^2} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это означает, что должны выполняться следующие условия:

• $x^2 + y^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 4$
• $y^2 - x^2 \neq 0 \Rightarrow y \neq x$ и $y \neq -x$

Графиком является окружность $x^2 + y^2 = 4$, из которой исключены точки, лежащие на прямых $y = x$ и $y = -x$. Найдем координаты этих точек, решив систему уравнений:

Для $y = x$: $x^2 + x^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Для $y = -x$: $x^2 + (-x)^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Следовательно, график — это окружность $x^2+y^2=4$ с четырьмя выколотыми точками: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

3. $\frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0$

Аналогично, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет:

• $y^2 - x^2 = 0 \Rightarrow y = x$ или $y = -x$
• $x^2 + y^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \neq 4$

Графиком является пара прямых $y = x$ и $y = -x$, из которых исключены точки их пересечения с окружностью $x^2+y^2=4$. Координаты этих точек были найдены в предыдущем пункте.

Следовательно, график — это две прямые $y=x$ и $y=-x$, на каждой из которых выколото по две точки: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ на прямой $y=x$ и $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ на прямой $y=-x$.

Ответ: Для $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - x^2) = 0$ график — объединение окружности $x^2 + y^2 = 4$ и прямых $y=x$, $y=-x$. Для $\frac{x^2 + y^2 - 4}{y^2 - x^2} = 0$ график — окружность $x^2 + y^2 = 4$ с выколотыми точками $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Для $\frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0$ график — прямые $y=x$ и $y=-x$, из которых исключены точки их пересечения с окружностью $x^2 + y^2 = 4$.

---

б)

Анализируем графики для трех заданных уравнений.

1. $(xy - 2)(y - 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. График является объединением графиков двух уравнений:

• $xy - 2 = 0$, или $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат $Ox$ и $Oy$.
• $y - 2x = 0$, или $y = 2x$. Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $k=2$.

Таким образом, график представляет собой объединение гиперболы $y=\frac{2}{x}$ и прямой $y=2x$.

2. $\frac{xy - 2}{y - 2x} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

• $xy - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{x}$
• $y - 2x \neq 0 \Rightarrow y \neq 2x$

Графиком является гипербола $y = \frac{2}{x}$, из которой исключены точки ее пересечения с прямой $y=2x$. Найдем эти точки:

Приравняем правые части: $\frac{2}{x} = 2x \Rightarrow 2 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$.

Если $x=1$, то $y=2(1)=2$. Точка $(1, 2)$.

Если $x=-1$, то $y=2(-1)=-2$. Точка $(-1, -2)$.

Следовательно, график — это гипербола $y=\frac{2}{x}$ с двумя выколотыми точками: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

3. $\frac{y - 2x}{xy - 2} = 0$

Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет:

• $y - 2x = 0 \Rightarrow y = 2x$
• $xy - 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{2}{x}$

Графиком является прямая $y = 2x$, из которой исключены точки ее пересечения с гиперболой $y=\frac{2}{x}$. Как мы нашли в предыдущем пункте, это точки $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Следовательно, график — это прямая $y=2x$ с двумя выколотыми точками: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: Для $(xy - 2)(y - 2x) = 0$ график — объединение гиперболы $y = \frac{2}{x}$ и прямой $y = 2x$. Для $\frac{xy - 2}{y - 2x} = 0$ график — гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, -2)$. Для $\frac{y - 2x}{xy - 2} = 0$ график — прямая $y = 2x$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.