Номер 554, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 554, страница 211.

554 Решите систему уравнений $ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 18 \\ (x-1)(y-2) = 9 \end{cases} $ с помощью подходящей замены.

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом замены переменных, как предложено в условии. Исходная система:

$$\begin{cases}(x-1)^2 + (y-2)^2 = 18 \\(x-1)(y-2) = 9\end{cases}$$

Введем новые переменные: пусть $a = x - 1$ и $b = y - 2$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases}a^2 + b^2 = 18 \\ab = 9\end{cases}$$

Для решения полученной системы воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Подставим в него известные значения из системы:

$(a+b)^2 = 18 + 2 \cdot 9 = 18 + 18 = 36$.

Из этого уравнения находим, что $a+b = 6$ или $a+b = -6$. Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. $a+b=6$ и $ab=9$.

По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 9 = 0$. Это уравнение является полным квадратом: $(t-3)^2 = 0$. Следовательно, уравнение имеет один корень $t=3$. Таким образом, $a=3$ и $b=3$.

Случай 2. $a+b=-6$ и $ab=9$.

Аналогично, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-6)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 9 = 0$. Это также полный квадрат: $(t+3)^2 = 0$. Корень этого уравнения $t=-3$. Таким образом, $a=-3$ и $b=-3$.

Итак, мы получили две пары значений для $(a, b)$: $(3, 3)$ и $(-3, -3)$. Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$, зная что $x = a + 1$ и $y = b + 2$.

Для пары $(a, b) = (3, 3)$ получаем:

$x = 3 + 1 = 4$

$y = 3 + 2 = 5$

Первое решение: $(4, 5)$.

Для пары $(a, b) = (-3, -3)$ получаем:

$x = -3 + 1 = -2$

$y = -3 + 2 = -1$

Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-2, -1)$.