Номер 551, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Системы уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 551, страница 210.

551 a) $\begin{cases} (x - 3y)(x + 4) = 0 \\ x - 5y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 4y)(x - 3) = 0 \\ x + 3y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x - 1)(y + 4) = 0 \\ y^2 + xy - 2 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 2)(y - 1) = 0 \\ x^2 - xy - 12 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x - 3y)(x + 4) = 0, \\x - 5y = 1.\end{cases}$

Первое уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

1)$\begin{cases}x - 3y = 0, \\x - 5y = 1.\end{cases}$или 2)$\begin{cases}x + 4 = 0, \\x - 5y = 1.\end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности.

Система 1:
Из первого уравнения выражаем $x$: $x = 3y$.
Подставляем это выражение во второе уравнение:
$3y - 5y = 1$
$-2y = 1$
$y = -1/2$
Теперь находим $x$:
$x = 3y = 3 \cdot (-1/2) = -3/2$
Получаем решение $(-3/2; -1/2)$.

Система 2:
Из первого уравнения получаем $x = -4$.
Подставляем это значение во второе уравнение:
$-4 - 5y = 1$
$-5y = 1 + 4$
$-5y = 5$
$y = -1$
Получаем решение $(-4; -1)$.

Ответ: $(-3/2; -1/2)$, $(-4; -1)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x + 4y)(x - 3) = 0, \\x + 3y = 1.\end{cases}$

Первое уравнение распадается на два случая: $x + 4y = 0$ или $x - 3 = 0$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $x + 4y = 0 \implies x = -4y$.
Подставим $x = -4y$ во второе уравнение системы:
$(-4y) + 3y = 1$
$-y = 1$
$y = -1$
Тогда $x = -4y = -4(-1) = 4$.
Получаем решение $(4; -1)$.

Случай 2: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Подставим $x = 3$ во второе уравнение системы:
$3 + 3y = 1$
$3y = 1 - 3$
$3y = -2$
$y = -2/3$
Получаем решение $(3; -2/3)$.

Ответ: $(4; -1)$, $(3; -2/3)$.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x - 1)(y + 4) = 0, \\y^2 + xy - 2 = 0.\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что либо $x - 1 = 0$, либо $y + 4 = 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Подставим $x = 1$ во второе уравнение:
$y^2 + (1) \cdot y - 2 = 0$
$y^2 + y - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его (например, по теореме Виета):
$y_1 + y_2 = -1$
$y_1 \cdot y_2 = -2$
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -2$.
Получаем два решения: $(1; 1)$ и $(1; -2)$.

Случай 2: $y + 4 = 0 \implies y = -4$.
Подставим $y = -4$ во второе уравнение:
$(-4)^2 + x(-4) - 2 = 0$
$16 - 4x - 2 = 0$
$14 - 4x = 0$
$4x = 14$
$x = 14/4 = 7/2$
Получаем решение $(7/2; -4)$.

Ответ: $(1; 1)$, $(1; -2)$, $(7/2; -4)$.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x + 2)(y - 1) = 0, \\x^2 - xy - 12 = 0.\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что либо $x + 2 = 0$, либо $y - 1 = 0$.

Случай 1: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Подставим $x = -2$ во второе уравнение:
$(-2)^2 - (-2)y - 12 = 0$
$4 + 2y - 12 = 0$
$2y - 8 = 0$
$2y = 8$
$y = 4$
Получаем решение $(-2; 4)$.

Случай 2: $y - 1 = 0 \implies y = 1$.
Подставим $y = 1$ во второе уравнение:
$x^2 - x(1) - 12 = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его (например, разложением на множители):
$(x - 4)(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Получаем два решения: $(4; 1)$ и $(-3; 1)$.

Ответ: $(-2; 4)$, $(4; 1)$, $(-3; 1)$.