Номер 545, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 545, страница 209.

545 Два велосипедиста одновременно выехали из посёлка в город, расстояние до которого $30\text{ км}$. Скорость одного велосипедиста была на $6\text{ км/ч}$ больше скорости другого, и на каждые $800\text{ м}$ он затрачивал на $1\text{ мин }20\text{ с}$ меньше, чем второй велосипедист. Сколько времени затратил на путь из посёлка в город велосипедист, который ехал с большей скоростью?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) велосипедиста. Тогда скорость первого (более быстрого) велосипедиста равна $(v + 6)$ км/ч.

Для составления уравнения используем информацию о разнице во времени на участке в 800 м. Переведем все величины в единую систему измерений: километры для расстояния и часы для времени.
Расстояние: $s = 800 \text{ м} = 0.8 \text{ км}$.
Разница во времени: $\Delta t = 1 \text{ мин } 20 \text{ с} = 80 \text{ с}$. Переведем секунды в часы: $\Delta t = \frac{80}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{45} \text{ ч}$.

Время, которое тратит на этот участок медленный велосипедист, вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$ и равно $t_2 = \frac{0.8}{v}$ ч.
Время, которое тратит быстрый велосипедист, равно $t_1 = \frac{0.8}{v+6}$ ч.

По условию задачи, разница во времени составляет $\frac{1}{45}$ часа, поэтому мы можем составить уравнение:
$t_2 - t_1 = \Delta t$
$\frac{0.8}{v} - \frac{0.8}{v+6} = \frac{1}{45}$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{0.8(v+6) - 0.8v}{v(v+6)} = \frac{1}{45}$
$\frac{0.8v + 4.8 - 0.8v}{v^2 + 6v} = \frac{1}{45}$
$\frac{4.8}{v^2 + 6v} = \frac{1}{45}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$v^2 + 6v = 4.8 \cdot 45$
$v^2 + 6v = 216$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 6v - 216 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-6 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$v_2 = \frac{-6 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $v=12$.

Таким образом, скорость медленного велосипедиста равна $12$ км/ч.
Скорость быстрого велосипедиста равна $12 + 6 = 18$ км/ч.

Вопрос задачи — найти время, которое затратил на весь путь (30 км) велосипедист, ехавший с большей скоростью. Используем формулу $t = \frac{S}{v}$:
$t_{быстрый} = \frac{30 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{30}{18} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$

Переведем полученное время в часы и минуты:
$\frac{5}{3} \text{ ч} = 1 \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Так как в одном часе 60 минут, то $\frac{2}{3}$ часа это $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут.
Следовательно, время в пути составило 1 час 40 минут.

Ответ: 1 час 40 минут.