Страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

540 а) $1 + \frac{x-4}{x-3} = \frac{x}{x+4} + \frac{7x}{x^2+x-12}$

б) $1 - \frac{2}{x+1} = \frac{5}{x^2-2x-3} - \frac{4}{x-3}$

В) $\frac{2}{x+2} - \frac{6}{x^2-2x+4} = \frac{24}{x^3+8}$

Г) $\frac{3x}{x^3-1} - \frac{3}{x^2+x+1} = \frac{1}{x-1}$

а) $1 + \frac{x-4}{x-3} = \frac{x}{x+4} + \frac{7x}{x^2 + x - 12}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$

Разложим знаменатель $x^2 + x - 12$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ по теореме Виета равны -4 и 3. Следовательно, $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -4$.

Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

$1 + \frac{x-4}{x-3} = \frac{x}{x+4} + \frac{7x}{(x-3)(x+4)}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$1 + \frac{x-4}{x-3} - \frac{x}{x+4} - \frac{7x}{(x-3)(x+4)} = 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-3)(x+4)$:

$\frac{(x-3)(x+4)}{(x-3)(x+4)} + \frac{(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+4)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+4)} - \frac{7x}{(x-3)(x+4)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, приравняем числитель к нулю:

$(x-3)(x+4) + (x-4)(x+4) - x(x-3) - 7x = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x^2 + 4x - 3x - 12) + (x^2 - 16) - (x^2 - 3x) - 7x = 0$

$x^2 + x - 12 + x^2 - 16 - x^2 + 3x - 7x = 0$

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 \cdot x_2 = -28$ и $x_1 + x_2 = 3$.

Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -4$).

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+4$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: 7

б) $1 - \frac{2}{x+1} = \frac{5}{x^2 - 2x - 3} - \frac{4}{x-3}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Разложим знаменатель $x^2 - 2x - 3$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ по теореме Виета равны 3 и -1. Следовательно, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.

ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

Перепишем уравнение:

$1 - \frac{2}{x+1} = \frac{5}{(x-3)(x+1)} - \frac{4}{x-3}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-3)(x+1)$:

$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+1)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+1)} - \frac{5}{(x-3)(x+1)} + \frac{4(x+1)}{(x-3)(x+1)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$(x-3)(x+1) - 2(x-3) - 5 + 4(x+1) = 0$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x - 3) - (2x - 6) - 5 + (4x + 4) = 0$

$x^2 - 2x - 3 - 2x + 6 - 5 + 4x + 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-2x - 2x + 4x) + (-3 + 6 - 5 + 4) = 0$

$x^2 + 0x + 2 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

$x^2 = -2$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: нет корней

в) $\frac{2}{x+2} - \frac{6}{x^2 - 2x + 4} = \frac{24}{x^3 + 8}$

Знаменатель $x^3+8$ можно разложить по формуле суммы кубов: $x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Выражение $x^2 - 2x + 4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Перепишем уравнение с общим знаменателем $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$:

$\frac{2}{x+2} - \frac{6}{x^2 - 2x + 4} - \frac{24}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(x^2 - 2x + 4)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} - \frac{6(x+2)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} - \frac{24}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2(x^2 - 2x + 4) - 6(x+2) - 24 = 0$

Раскроем скобки:

$2x^2 - 4x + 8 - 6x - 12 - 24 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 10x - 28 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -14$ и $x_1 + x_2 = 5$.

Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$).

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: 7

г) $\frac{3x}{x^3 - 1} - \frac{3}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{x-1}$

Знаменатель $x^3-1$ можно разложить по формуле разности кубов: $x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x + 1)$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$.

Перепишем уравнение и перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{3x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3}{x^2 + x + 1} - \frac{1}{x-1} = 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x^2 + x + 1)$:

$\frac{3x}{(x-1)(x^2 + x + 1)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} - \frac{1(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$3x - 3(x-1) - (x^2 + x + 1) = 0$

Раскроем скобки:

$3x - 3x + 3 - x^2 - x - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 - x + 2 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -2$ и $x_1 + x_2 = -1$.

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2

541 а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0;$ б) $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 8\left(x - \frac{1}{x}\right) = 5.$

Указание.

а) Используя формулу $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x + \frac{1}{x}$. Далее введите замену: $x + \frac{1}{x} = y$.

б) Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x - \frac{1}{x}$.

а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$

Данное уравнение является возвратным уравнением. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Следуя указанию, выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x + \frac{1}{x}$. Используем формулу $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$2(y^2 - 2) - 3y + 2 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 4 - 3y + 2 = 0$

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y=2$, то $x + \frac{1}{x} = 2$.

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \ne 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x_1 = 1$.

2) Если $y = -\frac{1}{2}$, то $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -x$

$2x^2 + x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

б) $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 8\left(x - \frac{1}{x}\right) = 5$

Это уравнение также является возвратным. ОДЗ: $x \ne 0$.

Следуя указанию, выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $x - \frac{1}{x}$. Используем формулу $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.

Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\left(\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2\right) - 8\left(x - \frac{1}{x}\right) = 5$

Введем замену переменной. Пусть $z = x - \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$4(z^2 + 2) - 8z = 5$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $z$:

$4z^2 + 8 - 8z - 5 = 0$

$4z^2 - 8z + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения для $z$:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $z$.

1) Если $z=\frac{3}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 - 2 = 3x$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

2) Если $z = \frac{1}{2}$, то $x - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 - 2 = x$

$2x^2 - x - 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $2; -\frac{1}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{4}; \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$.

542 a) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5}$

б) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}$

Указание. Преобразуйте отдельно левую и правую части уравнения.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \ne -2, x \ne 3, x \ne -4, x \ne 5 $.

Следуя указанию, преобразуем отдельно левую и правую части уравнения.

Преобразуем левую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x+2)(x-3) $:

$ \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3} = \frac{(x-3) + (x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{2x-1}{x^2 - 3x + 2x - 6} = \frac{2x-1}{x^2 - x - 6} $.

Преобразуем правую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x+4)(x-5) $:

$ \frac{1}{x+4} + \frac{1}{x-5} = \frac{(x-5) + (x+4)}{(x+4)(x-5)} = \frac{2x-1}{x^2 - 5x + 4x - 20} = \frac{2x-1}{x^2 - x - 20} $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{2x-1}{x^2 - x - 6} = \frac{2x-1}{x^2 - x - 20} $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ (2x-1) $ за скобки:

$ \frac{2x-1}{x^2 - x - 6} - \frac{2x-1}{x^2 - x - 20} = 0 $

$ (2x-1) \left( \frac{1}{x^2 - x - 6} - \frac{1}{x^2 - x - 20} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ 2x-1 = 0 $. Отсюда $ 2x=1 $, $ x = \frac{1}{2} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $ \frac{1}{x^2 - x - 6} - \frac{1}{x^2 - x - 20} = 0 $.

$ \frac{1}{x^2 - x - 6} = \frac{1}{x^2 - x - 20} $.

Так как числители равны, должны быть равны и знаменатели (при условии, что они не равны нулю):

$ x^2 - x - 6 = x^2 - x - 20 $

Вычитая $ x^2 - x $ из обеих частей, получаем: $ -6 = -20 $. Это неверное равенство, следовательно, во втором случае решений нет.

Единственным решением уравнения является $ x = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ x = \frac{1}{2} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $ x \ne 1, x \ne 2, x \ne 3, x \ne 4 $.

Следуя указанию, преобразуем отдельно левую и правую части уравнения.

Преобразуем левую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x-1)(x-2) $:

$ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x-2-x+1}{x^2 - 2x - x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 3x + 2} $.

Преобразуем правую часть, приводя дроби к общему знаменателю $ (x-3)(x-4) $:

$ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - (x-3)}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-4-x+3}{x^2 - 4x - 3x + 12} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12} $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{-1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12} $

Умножим обе части на -1:

$ \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x^2 - 7x + 12} $

Так как числители равны и не равны нулю, то должны быть равны и знаменатели:

$ x^2 - 3x + 2 = x^2 - 7x + 12 $

Вычитая $ x^2 $ из обеих частей, получаем:

$ -3x + 2 = -7x + 12 $

Перенесем слагаемые с $ x $ в левую часть, а числа — в правую:

$ -3x + 7x = 12 - 2 $

$ 4x = 10 $

$ x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5 $

Полученный корень $ x=2.5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как он не равен 1, 2, 3 или 4.

Ответ: $ x = 2.5 $.

Решите задачу (543–549).

543 Два велосипедиста отправились одновременно из города в посёлок. Скорость первого велосипедиста была на 2 км/ч больше, чем скорость второго велосипедиста. Поэтому он приехал в посёлок на 15 мин раньше второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если расстояние от города до посёлка 36 км.

543

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Поскольку скорость первого велосипедиста на 2 км/ч больше, то его скорость составляет $(x + 2)$ км/ч.

Расстояние от города до посёлка равно 36 км. Время в пути определяется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на путь второй велосипедист, составляет $t_2 = \frac{36}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь первый велосипедист, составляет $t_1 = \frac{36}{x+2}$ часов.

В условии сказано, что первый велосипедист приехал на 15 минут раньше второго. Необходимо перевести минуты в часы для согласованности единиц измерения: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Разница во времени прибытия составляет $t_2 - t_1$. Составим уравнение на основе данных задачи: $\frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{36(x+2) - 36x}{x(x+2)} = \frac{1}{4}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{36x + 72 - 36x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$
Упростим числитель: $\frac{72}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $1 \cdot (x^2 + 2x) = 72 \cdot 4$
$x^2 + 2x = 288$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 288 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $a = 1, b = 2, c = -288$
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-2 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

544 Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого, поэтому в город $B$ он приехал на 1 ч 15 мин позже другого велосипедиста. Сколько времени затратил на первые 12 км пути велосипедист, который ехал с меньшей скоростью?

Пусть $x$ км/ч - скорость более быстрого велосипедиста. Тогда скорость более медленного велосипедиста, который ехал медленнее, равна $(x - 4)$ км/ч.

Расстояние между городами А и В составляет 60 км. Время, которое затратил на весь путь быстрый велосипедист, равно $t_1 = \frac{60}{x}$ ч. Время, которое затратил медленный велосипедист, равно $t_2 = \frac{60}{x-4}$ ч.

По условию, медленный велосипедист приехал на 1 час 15 минут позже. Переведем разницу во времени в часы:

1 ч 15 мин = $1 + \frac{15}{60}$ ч = $1 + \frac{1}{4}$ ч = $1.25$ ч, или $\frac{5}{4}$ ч.

Разница во времени $t_2 - t_1$ позволяет нам составить уравнение:

$\frac{60}{x-4} - \frac{60}{x} = \frac{5}{4}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{12}{x-4} - \frac{12}{x} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{12x - 12(x-4)}{x(x-4)} = \frac{1}{4}$

$\frac{12x - 12x + 48}{x^2 - 4x} = \frac{1}{4}$

$\frac{48}{x^2 - 4x} = \frac{1}{4}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$x^2 - 4x = 48 \cdot 4$

$x^2 - 4x = 192$

$x^2 - 4x - 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-4) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-(-4) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость быстрого велосипедиста равна 16 км/ч.

Теперь найдем скорость медленного велосипедиста:

$16 - 4 = 12$ км/ч.

Нам нужно найти, сколько времени затратил велосипедист с меньшей скоростью на первые 12 км пути. Для этого разделим расстояние на его скорость:

Время = $\frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{12 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 1$ час.

Ответ: 1 час.

545 Два велосипедиста одновременно выехали из посёлка в город, расстояние до которого $30\text{ км}$. Скорость одного велосипедиста была на $6\text{ км/ч}$ больше скорости другого, и на каждые $800\text{ м}$ он затрачивал на $1\text{ мин }20\text{ с}$ меньше, чем второй велосипедист. Сколько времени затратил на путь из посёлка в город велосипедист, который ехал с большей скоростью?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) велосипедиста. Тогда скорость первого (более быстрого) велосипедиста равна $(v + 6)$ км/ч.

Для составления уравнения используем информацию о разнице во времени на участке в 800 м. Переведем все величины в единую систему измерений: километры для расстояния и часы для времени.
Расстояние: $s = 800 \text{ м} = 0.8 \text{ км}$.
Разница во времени: $\Delta t = 1 \text{ мин } 20 \text{ с} = 80 \text{ с}$. Переведем секунды в часы: $\Delta t = \frac{80}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{45} \text{ ч}$.

Время, которое тратит на этот участок медленный велосипедист, вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$ и равно $t_2 = \frac{0.8}{v}$ ч.
Время, которое тратит быстрый велосипедист, равно $t_1 = \frac{0.8}{v+6}$ ч.

По условию задачи, разница во времени составляет $\frac{1}{45}$ часа, поэтому мы можем составить уравнение:
$t_2 - t_1 = \Delta t$
$\frac{0.8}{v} - \frac{0.8}{v+6} = \frac{1}{45}$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{0.8(v+6) - 0.8v}{v(v+6)} = \frac{1}{45}$
$\frac{0.8v + 4.8 - 0.8v}{v^2 + 6v} = \frac{1}{45}$
$\frac{4.8}{v^2 + 6v} = \frac{1}{45}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$v^2 + 6v = 4.8 \cdot 45$
$v^2 + 6v = 216$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 6v - 216 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-6 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$v_2 = \frac{-6 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $v=12$.

Таким образом, скорость медленного велосипедиста равна $12$ км/ч.
Скорость быстрого велосипедиста равна $12 + 6 = 18$ км/ч.

Вопрос задачи — найти время, которое затратил на весь путь (30 км) велосипедист, ехавший с большей скоростью. Используем формулу $t = \frac{S}{v}$:
$t_{быстрый} = \frac{30 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{30}{18} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$

Переведем полученное время в часы и минуты:
$\frac{5}{3} \text{ ч} = 1 \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Так как в одном часе 60 минут, то $\frac{2}{3}$ часа это $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут.
Следовательно, время в пути составило 1 час 40 минут.

Ответ: 1 час 40 минут.

546 Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автобус, и одновременно с ним из $B$ в $A$ выехал автомобиль. Они встретились в пункте $C$, причём расстояние, пройденное автомобилем до места встречи, оказалось на 50 км больше пройденного автобусом. Автобус прибыл в конечный пункт через 3 ч после встречи, а автомобиль — через 1 ч 20 мин. На каком расстоянии от пункта $A$ произошла встреча? За какое время автомобиль прошёл всё расстояние?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_б$ — скорость автобуса (в км/ч);
• $v_а$ — скорость автомобиля (в км/ч);
• $t$ — время от начала движения до встречи (в часах);
• $S_{AC}$ — расстояние от пункта А до места встречи C (в км);
• $S_{BC}$ — расстояние от пункта B до места встречи C (в км).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
Расстояния, пройденные автобусом и автомобилем до встречи в пункте C, равны:
$S_{AC} = v_б \cdot t$ (1)
$S_{BC} = v_а \cdot t$ (2)

По условию, расстояние, пройденное автомобилем до встречи, на 50 км больше, чем пройденное автобусом:
$S_{BC} = S_{AC} + 50$ (3)

После встречи автобусу потребовалось 3 часа, чтобы проехать оставшееся расстояние $S_{BC}$, а автомобилю — 1 час 20 минут, чтобы проехать расстояние $S_{AC}$.
Переведем время движения автомобиля после встречи в часы: $1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 1\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, можем записать:
$S_{BC} = v_б \cdot 3$ (4)
$S_{AC} = v_а \cdot \frac{4}{3}$ (5)

Ключевым моментом для решения является то, что отношение расстояний, пройденных до встречи, равно отношению скоростей. Также отношение расстояний, пройденных после встречи, равно отношению времен, затраченных на эти участки.
До встречи автобус проехал $S_{AC}$, а автомобиль $S_{BC}$. После встречи автобус проехал $S_{BC}$ за 3 часа, а автомобиль $S_{AC}$ за $\frac{4}{3}$ часа.
Это означает, что время, которое требуется каждому транспортному средству для преодоления одного и того же участка пути, пропорционально. Отношение времени до встречи ($t$) к времени после встречи для каждого будет одинаковым для "чужого" участка пути.
То есть, $\frac{t_{автобус\_до}}{t_{автомобиль\_после}} = \frac{t_{автомобиль\_до}}{t_{автобус\_после}}$.
$\frac{t}{4/3} = \frac{t}{3}$ — это неверно. Правильное соотношение выводится через скорости и расстояния.

Давайте воспользуемся другим подходом. Выразим отношение скоростей $\frac{v_б}{v_а}$ двумя способами.
Из уравнений (1) и (2) имеем: $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{v_б \cdot t}{v_а \cdot t} = \frac{v_б}{v_а}$.
Из уравнений (4) и (5) имеем: $v_б = \frac{S_{BC}}{3}$ и $v_а = \frac{S_{AC}}{4/3} = \frac{3S_{AC}}{4}$.
Тогда $\frac{v_б}{v_а} = \frac{S_{BC}/3}{3S_{AC}/4} = \frac{S_{BC}}{3} \cdot \frac{4}{3S_{AC}} = \frac{4S_{BC}}{9S_{AC}}$.

Приравняем два полученных выражения для $\frac{v_б}{v_а}$:
$\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{4S_{BC}}{9S_{AC}}$
$9(S_{AC})^2 = 4(S_{BC})^2$
Так как расстояния являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$3S_{AC} = 2S_{BC}$

Теперь мы можем найти значения $S_{AC}$ и $S_{BC}$, используя уравнение (3): $S_{BC} = S_{AC} + 50$.
Подставим это выражение в предыдущее равенство:
$3S_{AC} = 2(S_{AC} + 50)$
$3S_{AC} = 2S_{AC} + 100$
$S_{AC} = 100$ км.

Зная $S_{AC}$, находим $S_{BC}$:
$S_{BC} = 100 + 50 = 150$ км.

На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?
Расстояние от пункта A до места встречи — это $S_{AC}$. Как мы вычислили выше, оно равно 100 км.
Ответ: встреча произошла на расстоянии 100 км от пункта А.

За какое время автомобиль прошёл всё расстояние?
Полное время движения автомобиля складывается из времени до встречи и времени после встречи.
Время после встречи дано в условии: $t_{после} = 1 \text{ час } 20 \text{ минут} = \frac{4}{3}$ часа.
Чтобы найти время до встречи $t_{до}$, нам нужно найти скорость автомобиля.
Из уравнения (5) находим скорость автомобиля $v_а$:
$S_{AC} = v_а \cdot \frac{4}{3} \implies 100 = v_а \cdot \frac{4}{3} \implies v_а = \frac{100 \cdot 3}{4} = 75$ км/ч.
Время автомобиля до встречи — это время, за которое он проехал расстояние $S_{BC}$:
$t_{до} = \frac{S_{BC}}{v_а} = \frac{150 \text{ км}}{75 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Полное время движения автомобиля равно:
$T_а = t_{до} + t_{после} = 2 \text{ ч} + \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$ часа.
Переведем это значение в часы и минуты:
$\frac{10}{3} \text{ ч} = 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ часа } + \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}$.
Ответ: автомобиль прошёл всё расстояние за 3 часа 20 минут.