Страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какое из выражений не является целым?

1) $c^2 + 4$

2) $c^2 + 4c$

3) $c^2 + \frac{4}{c}$

4) $c^2 + \frac{c}{4}$

Целым называется алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Ключевым свойством целого выражения является то, что оно не содержит деления на переменную.

Проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) $c^2 + 4$

Это выражение является многочленом, состоящим из суммы квадрата переменной $c$ и числа 4. В выражении отсутствует деление на переменную. Следовательно, оно является целым.

2) $c^2 + 4c$

Данное выражение также является многочленом. Оно представляет собой сумму квадрата переменной $c$ и произведения числа 4 на переменную $c$. Деления на переменную нет, поэтому это целое выражение.

3) $c^2 + \frac{4}{c}$

В этом выражении присутствует слагаемое $\frac{4}{c}$, которое представляет собой операцию деления числа 4 на переменную $c$. Поскольку выражение содержит деление на переменную, оно не является целым. Такие выражения называются дробно-рациональными.

4) $c^2 + \frac{c}{4}$

Это выражение содержит операцию деления переменной $c$ на число 4. Такую операцию можно записать как произведение коэффициента на переменную: $c^2 + \frac{1}{4}c$. Деление здесь происходит на константу (число), а не на переменную. Поэтому данное выражение является целым.

Таким образом, единственное выражение из предложенных, которое не является целым, — это выражение под номером 3, так как оно содержит деление на переменную.

Ответ: 3

2 Даны выражения:

А) $\frac{x}{x+2}$;

Б) $\frac{x+2}{x}$;

В) $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}$.

Какие из них не имеют смысла при $x = 0$?

1) только А

2) только Б

3) Б и В

4) А, Б и В

Для того чтобы алгебраическое выражение имело смысл, необходимо, чтобы все операции в нем были определены. Основное ограничение для дробей — знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Проанализируем каждое из данных выражений при $x = 0$.

А) Рассмотрим выражение $\frac{x}{x+2}$.
Знаменатель этой дроби — $x+2$. Подставим в него значение $x=0$:
$0 + 2 = 2$.
Поскольку знаменатель равен 2 и не равен нулю, данное выражение имеет смысл при $x=0$.
Ответ: выражение А имеет смысл.

Б) Рассмотрим выражение $\frac{x+2}{x}$.
Знаменатель этой дроби — $x$. При подстановке $x=0$ знаменатель становится равным нулю.
Так как происходит деление на ноль, данное выражение не имеет смысла при $x=0$.
Ответ: выражение Б не имеет смысла.

В) Рассмотрим выражение $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}$.
Это выражение является сложным, так как в его числителе есть еще одна дробь: $\frac{1}{x}$.
Чтобы все выражение имело смысл, должны иметь смысл все его составные части. Знаменатель дроби $\frac{1}{x}$ равен $x$.
При $x=0$ этот знаменатель обращается в ноль, что делает дробь $\frac{1}{x}$ и, следовательно, всё выражение, не имеющим смысла.
Ответ: выражение В не имеет смысла.

Таким образом, выражения Б и В не имеют смысла при $x=0$. Это соответствует варианту ответа 3.

3 Найдите значение выражения $(a - 1)(a + 1) - (a - 1)^2 - a$ при $a = -0,5$.

Для того чтобы найти значение выражения при заданном $a$, сначала упростим его.
Исходное выражение: $(a - 1)(a + 1) - (a - 1)^2 - a$
Применим формулу разности квадратов для первого слагаемого: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$
Применим формулу квадрата разности для второго слагаемого: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^2 - 1) - (a^2 - 2a + 1) - a$
Раскроем скобки. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$a^2 - 1 - a^2 + 2a - 1 - a$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (2a - a) + (-1 - 1) = 0 + a - 2 = a - 2$
Теперь, когда выражение упрощено до $a - 2$, подставим значение $a = -0,5$:
$-0,5 - 2 = -2,5$
Ответ: $-2,5$

4 Какое из равенств не является тождеством?

1) $a - b = -(b - a)$

2) $(a - b)^2 = (b - a)^2$

3) $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b$

4) $(b + a)(a - b) = b^2 - a^2$

Чтобы определить, какое из равенств не является тождеством, необходимо проверить каждое из них. Тождество — это равенство, которое выполняется для всех допустимых значений входящих в него переменных.

1) $a - b = -(b - a)$

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки. Минус перед скобкой меняет знаки всех членов внутри скобок на противоположные: $-(b - a) = -b - (-a) = -b + a$. Используя переместительный закон сложения, получаем $a - b$. Таким образом, равенство принимает вид $a - b = a - b$. Оно верно для любых значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: Равенство является тождеством.

2) $(a - b)^2 = (b - a)^2$

Выражения $a - b$ и $b - a$ являются противоположными, то есть $a - b = -(b - a)$. Квадраты противоположных чисел всегда равны, поскольку $(-x)^2 = x^2$. Следовательно, $(a - b)^2 = (-(b - a))^2 = (b - a)^2$. Равенство верно для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Равенство является тождеством.

3) $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b$

Преобразуем левую часть равенства. Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Подставим это в левую часть: $\frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$. Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $a + b \neq 0$. При этом условии можно сократить дробь на общий множитель $(a + b)$. В результате левая часть становится равной $a - b$. Равенство $a - b = a - b$ верно для всех допустимых значений переменных.

Ответ: Равенство является тождеством.

4) $(b + a)(a - b) = b^2 - a^2$

Преобразуем левую часть равенства. Используя переместительный закон сложения, $b + a = a + b$. Тогда левая часть равна $(a + b)(a - b)$. Это формула разности квадратов, результат которой $a^2 - b^2$. Таким образом, исходное равенство можно переписать как $a^2 - b^2 = b^2 - a^2$. Это равенство не является тождеством, так как оно верно не для всех значений переменных. Оно выполняется только при условии $a^2 - b^2 = -(a^2 - b^2)$, что возможно лишь когда $a^2 - b^2 = 0$, то есть $|a| = |b|$. Для проверки подставим произвольные значения, например, $a=2$ и $b=1$: Левая часть: $(1 + 2)(2 - 1) = 3 \cdot 1 = 3$. Правая часть: $1^2 - 2^2 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $3 \neq -3$, равенство неверно.

Ответ: Равенство не является тождеством.

5 Какая из дробей не равна выражению $\frac{x-1}{x(x-2)} + \frac{1}{2-x}$?

1) $\frac{1}{2x-x^2}$

2) $\frac{2x-1}{x^2-2x}$

3) $-\frac{1}{x(x-2)}$

4) $\frac{1}{x(2-x)}$

Для того чтобы определить, какая из предложенных дробей не равна исходному выражению, сперва необходимо упростить само выражение: $ \frac{x-1}{x(x-2)} + \frac{1}{2-x} $.

Заметим, что знаменатели $ x(x-2) $ и $ 2-x $ связаны соотношением $ 2-x = -(x-2) $. Используем это для приведения дробей к общему знаменателю.

Преобразуем вторую дробь:

$ \frac{1}{2-x} = \frac{1}{-(x-2)} = -\frac{1}{x-2} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{1}{x-2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ x(x-2) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ x $:

$ \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{1 \cdot x}{(x-2) \cdot x} = \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{x}{x(x-2)} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(x-1) - x}{x(x-2)} = \frac{x - 1 - x}{x(x-2)} = \frac{-1}{x(x-2)} $

Итак, исходное выражение равно $ \frac{-1}{x(x-2)} $. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $ \frac{1}{2x-x^2} $

Разложим знаменатель на множители: $ 2x-x^2 = x(2-x) $. Дробь принимает вид $ \frac{1}{x(2-x)} $. Так как $ 2-x = -(x-2) $, то $ \frac{1}{x(2-x)} = \frac{1}{-x(x-2)} = -\frac{1}{x(x-2)} $. Эта дробь равна исходному выражению.

2) $ \frac{2x-1}{x^2-2x} $

Разложим знаменатель на множители: $ x^2-2x = x(x-2) $. Дробь принимает вид $ \frac{2x-1}{x(x-2)} $. Эта дробь не равна $ \frac{-1}{x(x-2)} $, поскольку их числители $ 2x-1 $ и $ -1 $ не равны тождественно.

3) $ -\frac{1}{x(x-2)} $

Эта дробь в точности равна упрощенному исходному выражению.

4) $ \frac{1}{x(2-x)} $

Как мы уже выяснили в пункте 1), $ \frac{1}{x(2-x)} = -\frac{1}{x(x-2)} $. Эта дробь равна исходному выражению.

Таким образом, единственная дробь, которая не равна исходному выражению, это дробь под номером 2.

Ответ: 2

6 Решите уравнение

$(x + 1)(x + 4)(x - 3) = 0.$

Данное уравнение представляет собой произведение трех множителей, равное нулю. Произведение равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый из множителей к нулю, чтобы найти все корни уравнения.

Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 4)(x - 3) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности трех линейных уравнений:

1. $x + 1 = 0$
2. $x + 4 = 0$
3. $x - 3 = 0$

Теперь решим каждое уравнение по отдельности:

1. Из уравнения $x + 1 = 0$ следует, что $x = -1$.

2. Из уравнения $x + 4 = 0$ следует, что $x = -4$.

3. Из уравнения $x - 3 = 0$ следует, что $x = 3$.

Таким образом, мы получили три корня уравнения. Обычно их записывают в порядке возрастания.

Ответ: $-4; -1; 3$.

7 Сколько корней имеет уравнение $x^4 - x^2 = 0$?

Для того чтобы найти количество корней уравнения $x^4 - x^2 = 0$, необходимо его решить. Это биквадратное уравнение, которое можно решить методом разложения на множители.
Сначала вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два отдельных уравнения:
1) $x^2 = 0$
2) $x^2 - 1 = 0$
Теперь решим каждое из этих уравнений.
Из первого уравнения $x^2 = 0$ получаем один корень:
$x_1 = 0$
Второе уравнение $x^2 - 1 = 0$ является разностью квадратов, которую можно записать как $(x - 1)(x + 1) = 0$. Оно также распадается на два случая:
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$
В результате мы нашли три различных корня уравнения: $0$, $1$ и $-1$.
Ответ: 3

8 Какое из уравнений имеет три корня?

1) $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = 0$

2) $\frac{x(x^2 - 1)}{x - 1} = 0$

3) $\frac{x(x^2 + 4)}{x - 1} = 0$

4) $\frac{x(x^2 - 4)}{x - 1} = 0$

Чтобы найти корни дробно-рационального уравнения вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$, необходимо решить систему:

$\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}$

Это означает, что мы должны найти корни числителя и убедиться, что при этих значениях знаменатель не обращается в ноль. Проанализируем каждое уравнение.

1) $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x^2 + 1 = 0$, или $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Поскольку у числителя нет действительных корней, то и у всего уравнения их нет.

Ответ: 0 корней.

2) $\frac{x(x^2 - 1)}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x(x^2 - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x^2 - 1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, потенциальные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Корень $x = 1$ не удовлетворяет этому условию (так как $1 - 1 = 0$), поэтому его нужно исключить. Остаются корни $x = 0$ и $x = -1$.

Ответ: 2 корня.

3) $\frac{x(x^2 + 4)}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x(x^2 + 4) = 0$.

$x = 0$ или $x^2 + 4 = 0$.

Уравнение $x^2 + 4 = 0$ (или $x^2 = -4$) не имеет действительных корней.

Единственный потенциальный корень — $x = 0$.

Проверим знаменатель: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Корень $x = 0$ удовлетворяет этому условию ($0 - 1 \neq 0$). Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: 1 корень.

4) $\frac{x(x^2 - 4)}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x(x^2 - 4) = 0$.

$x = 0$ или $x^2 - 4 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.

Потенциальные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Проверим знаменатель: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Ни один из найденных корней ($0, 2, -2$) не равен 1. Следовательно, все три значения являются корнями уравнения.

Ответ: 3 корня.

9 Теплоход прошёл 21 км по течению реки и 10 км против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Какова собственная скорость теплохода, если на весь путь он затратил 2,5 ч? Какое из уравнений соответствует условию задачи, если буквой x обозначена собственная скорость теплохода (в км/ч)?

1) $ \frac{21}{x+2} + \frac{10}{x-2} = 2,5 $

2) $ \frac{21}{x-2} + \frac{10}{x+2} = 2,5 $

3) $ 10(x+2) + 21(x-2) = 2,5 $

4) $ 21(x+2) + 10(x-2) = 2,5 $

Какое из уравнений соответствует условию задачи, если буквой x обозначена собственная скорость теплохода (в км/ч)?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, исходя из основных формул движения: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время. Отсюда время можно выразить как $t = S/v$.

Пусть $x$ (км/ч) — собственная скорость теплохода.

Скорость течения реки равна $2$ км/ч.

Когда теплоход идет по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;теч.} = (x + 2)$ км/ч.

Когда теплоход идет против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против\;теч.} = (x - 2)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по\;теч.} = \frac{S_{по\;теч.}}{v_{по\;теч.}} = \frac{21}{x + 2}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{против\;теч.} = \frac{S_{против\;теч.}}{v_{против\;теч.}} = \frac{10}{x - 2}$ ч.

Общее время в пути равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_{общ.} = t_{по\;теч.} + t_{против\;теч.}$.

По условию, общее время составляет $2,5$ ч. Подставив все значения, получим уравнение:

$\frac{21}{x + 2} + \frac{10}{x - 2} = 2,5$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту 1.

Ответ: 1) $\frac{21}{x + 2} + \frac{10}{x - 2} = 2,5$

Какова собственная скорость теплохода, если на весь путь он затратил 2,5 ч?

Для нахождения собственной скорости теплохода решим составленное уравнение.

$\frac{21}{x + 2} + \frac{10}{x - 2} = 2,5$

Область допустимых значений для $x$: так как скорость не может быть отрицательной, и теплоход должен двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, т.е. $x > 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 2)(x - 2)$:

$\frac{21(x - 2) + 10(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = 2,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{21x - 42 + 10x + 20}{x^2 - 4} = 2,5$

$\frac{31x - 22}{x^2 - 4} = 2,5$

Используем свойство пропорции:

$31x - 22 = 2,5(x^2 - 4)$

$31x - 22 = 2,5x^2 - 10$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2,5x^2 - 31x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$5x^2 - 62x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-62)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 24 = 3844 - 480 = 3364$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3364} = 58$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{62 + 58}{2 \cdot 5} = \frac{120}{10} = 12$

$x_2 = \frac{62 - 58}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0,4$

Проверим корни на соответствие области допустимых значений $x > 2$.

Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет условию $12 > 2$.

Корень $x_2 = 0,4$ не удовлетворяет условию $0,4 > 2$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.