Страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

569 Пусть $ (c_n) $ — последовательность правильных несократимых дробей со знаменателем 100.

а) Заполните таблицу, занеся в неё первые десять членов этой последовательности.

б) Закончите равенства: $ c_5 = \dots, c_9 = \dots, c_{12} = \dots $

в) Укажите номер члена последовательности, равного $ \frac{3}{100}, \frac{17}{100}, \frac{29}{100} $.

г) Найдите последний член этой последовательности и укажите его номер.

а) Последовательность $(c_n)$ состоит из правильных несократимых дробей со знаменателем 100. Это дроби вида $\frac{k}{100}$, где $1 \le k < 100$ и наибольший общий делитель НОД$(k, 100) = 1$.

Поскольку $100 = 2^2 \cdot 5^2$, для несократимости дроби необходимо, чтобы её числитель $k$ не делился ни на 2, ни на 5. Члены последовательности упорядочены по возрастанию числителей. Найдем первые десять таких числителей $k$ и соответствующие им члены последовательности:

• $k=1$: НОД(1, 100) = 1 $\implies c_1 = \frac{1}{100}$
• $k=3$: НОД(3, 100) = 1 $\implies c_2 = \frac{3}{100}$
• $k=7$: НОД(7, 100) = 1 $\implies c_3 = \frac{7}{100}$
• $k=9$: НОД(9, 100) = 1 $\implies c_4 = \frac{9}{100}$
• $k=11$: НОД(11, 100) = 1 $\implies c_5 = \frac{11}{100}$
• $k=13$: НОД(13, 100) = 1 $\implies c_6 = \frac{13}{100}$
• $k=17$: НОД(17, 100) = 1 $\implies c_7 = \frac{17}{100}$
• $k=19$: НОД(19, 100) = 1 $\implies c_8 = \frac{19}{100}$
• $k=21$: НОД(21, 100) = 1 $\implies c_9 = \frac{21}{100}$
• $k=23$: НОД(23, 100) = 1 $\implies c_{10} = \frac{23}{100}$

Ответ:

б) Для нахождения указанных членов последовательности необходимо продолжить список числителей $k$, взаимно простых со 100. Мы уже нашли первые 10 таких числителей в пункте а).

• $c_5$: пятый числитель в списке — 11.
• $c_9$: девятый числитель в списке — 21.
• Для $c_{12}$ найдем числители, следующие за 23 (десятый числитель):
  • Следующее число после 23, не делящееся на 2 и 5, — это 27. Это 11-й числитель.
  • Следующее за 27 — это 29. Это 12-й числитель.

Таким образом, $c_5 = \frac{11}{100}$, $c_9 = \frac{21}{100}$ и $c_{12} = \frac{29}{100}$.

Ответ: $c_5 = \frac{11}{100}$, $c_9 = \frac{21}{100}$, $c_{12} = \frac{29}{100}$.

в) Номер $n$ члена последовательности $c_n = \frac{k}{100}$ равен количеству натуральных чисел $j$, не превосходящих $k$ ($1 \le j \le k$), которые взаимно просты со 100.

• Для дроби $\frac{3}{100}$ имеем $k=3$. Натуральные числа, не превосходящие 3 и взаимно простые со 100, это 1 и 3. Их количество — 2. Значит, это второй член последовательности ($c_2$).
• Для дроби $\frac{17}{100}$ имеем $k=17$. Натуральные числа, не превосходящие 17 и взаимно простые со 100, это: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17. Их количество — 7. Значит, это седьмой член последовательности ($c_7$).
• Для дроби $\frac{29}{100}$ имеем $k=29$. Натуральные числа, не превосходящие 29 и взаимно простые со 100, это: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29. Их количество — 12. Значит, это двенадцатый член последовательности ($c_{12}$).

Ответ: Номер члена последовательности, равного $\frac{3}{100}$, — 2; номер члена, равного $\frac{17}{100}$, — 7; номер члена, равного $\frac{29}{100}$, — 12.

г) Последний член последовательности — это правильная несократимая дробь с наибольшим возможным числителем. Так как дроби правильные, числитель $k$ должен быть меньше 100. Ищем наибольшее целое число $k < 100$, такое что НОД$(k, 100) = 1$.

Проверим числа, близкие к 100, в порядке убывания:

• $k=99$: НОД(99, 100) = НОД($3^2 \cdot 11, 2^2 \cdot 5^2$) = 1. Это число взаимно простое со 100.

Следовательно, наибольший подходящий числитель — 99, и последний член последовательности — это $\frac{99}{100}$.

Номер последнего члена равен общему количеству членов в последовательности. Это количество равно числу натуральных чисел $k$ в диапазоне $1 \le k < 100$, для которых НОД$(k, 100)=1$. Это значение вычисляется с помощью функции Эйлера $\phi(n)$.

Для $n=100$:$\phi(100) = 100 \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{5}) = 100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 40$.

Таким образом, в последовательности всего 40 членов. Последний член $\frac{99}{100}$ имеет номер 40.

Ответ: Последний член последовательности — $\frac{99}{100}$, его номер — 40.

а) Запишите все члены последовательности, предшествующие указанному: $...; a_{12}; ...$

б) Запишите все члены последовательности, содержащиеся между двумя указанными:

$...; a_{25}; ...; a_{32}; ...$

$...; a_{k-1}; ...; a_{k+5}; ...$

в) Для каждого из указанных членов последовательности запишите два предыдущих и два последующих члена:

$...; a_{104}; ...$

$...; a_k; ...$

$...; a_{n-3}; ...$

а) Членами последовательности, предшествующими указанному члену $a_{12}$, являются все члены, порядковый номер (индекс) которых меньше 12. Полагая, что нумерация членов последовательности начинается с 1, это будут члены с первого по одиннадцатый включительно.

Ответ: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10}, a_{11}$.

б) Чтобы записать все члены последовательности, содержащиеся между двумя указанными, необходимо перечислить все члены, чьи индексы лежат в интервале между индексами заданных членов.

1. Между членами $a_{25}$ и $a_{32}$ находятся члены, индексы которых больше 25 и меньше 32. Это члены с 26-го по 31-й.

Ответ: $a_{26}, a_{27}, a_{28}, a_{29}, a_{30}, a_{31}$.

2. Между членами $a_{k-1}$ и $a_{k+5}$ находятся члены, индексы которых больше $k-1$ и меньше $k+5$. Это члены с индексами от $k$ до $k+4$. (При условии, что $k$ - натуральное число и $k-1 \ge 1$, то есть $k \ge 2$).

Ответ: $a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}, a_{k+4}$.

в) Для каждого указанного члена последовательности нужно записать два предыдущих (с меньшими индексами) и два последующих (с большими индексами) члена.

1. Для члена $a_{104}$: два предыдущих члена — это $a_{104-1}=a_{103}$ и $a_{104-2}=a_{102}$. Два последующих члена — это $a_{104+1}=a_{105}$ и $a_{104+2}=a_{106}$.

Ответ: предыдущие: $a_{102}, a_{103}$; последующие: $a_{105}, a_{106}$.

2. Для члена $a_k$: два предыдущих члена — это $a_{k-1}$ и $a_{k-2}$. Два последующих члена — это $a_{k+1}$ и $a_{k+2}$. (Это возможно, если существуют члены с индексом $k-2$, т.е. $k-2 \ge 1 \implies k \ge 3$).

Ответ: предыдущие: $a_{k-2}, a_{k-1}$; последующие: $a_{k+1}, a_{k+2}$.

3. Для члена $a_{n-3}$: два предыдущих члена — это $a_{(n-3)-1}=a_{n-4}$ и $a_{(n-3)-2}=a_{n-5}$. Два последующих члена — это $a_{(n-3)+1}=a_{n-2}$ и $a_{(n-3)+2}=a_{n-1}$. (Это возможно, если существуют члены с индексом $n-5$, т.е. $n-5 \ge 1 \implies n \ge 6$).

Ответ: предыдущие: $a_{n-5}, a_{n-4}$; последующие: $a_{n-2}, a_{n-1}$.