Страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

579 Последовательность задана формулой n-го члена:

$b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$

а) Вычислите первые семь членов этой последовательности.

б) Найдите $b_{10}$; $b_{11}$; $b_9$.

в) Найдите $b_{n-1}$; $b_{n+2}$.

а) Чтобы вычислить первые семь членов последовательности, заданной формулой $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$, нужно последовательно подставить значения $n$ от 1 до 7.

$b_1 = 0,1 \cdot 2^{1-1} = 0,1 \cdot 2^0 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$

$b_2 = 0,1 \cdot 2^{2-1} = 0,1 \cdot 2^1 = 0,2$

$b_3 = 0,1 \cdot 2^{3-1} = 0,1 \cdot 2^2 = 0,4$

$b_4 = 0,1 \cdot 2^{4-1} = 0,1 \cdot 2^3 = 0,8$

$b_5 = 0,1 \cdot 2^{5-1} = 0,1 \cdot 2^4 = 1,6$

$b_6 = 0,1 \cdot 2^{6-1} = 0,1 \cdot 2^5 = 3,2$

$b_7 = 0,1 \cdot 2^{7-1} = 0,1 \cdot 2^6 = 6,4$

Ответ: $b_1 = 0,1; b_2 = 0,2; b_3 = 0,4; b_4 = 0,8; b_5 = 1,6; b_6 = 3,2; b_7 = 6,4$.

б) Для нахождения членов последовательности $b_{10}, b_{11}, b_9$ подставим соответствующие номера $n=10, n=11, n=9$ в формулу $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$.

Вычисление $b_{10}$:

$b_{10} = 0,1 \cdot 2^{10-1} = 0,1 \cdot 2^9 = 0,1 \cdot 512 = 51,2$.

Вычисление $b_{11}$:

$b_{11} = 0,1 \cdot 2^{11-1} = 0,1 \cdot 2^{10} = 0,1 \cdot 1024 = 102,4$.

Вычисление $b_9$:

$b_9 = 0,1 \cdot 2^{9-1} = 0,1 \cdot 2^8 = 0,1 \cdot 256 = 25,6$.

Ответ: $b_{10} = 51,2; b_{11} = 102,4; b_9 = 25,6$.

в) Чтобы найти формулы для членов $b_{n-1}$ и $b_{n+2}$, подставим в исходную формулу $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$ вместо индекса $n$ выражения $n-1$ и $n+2$.

Для члена $b_{n-1}$ (подставляем $n-1$):

$b_{n-1} = 0,1 \cdot 2^{(n-1)-1} = 0,1 \cdot 2^{n-2}$.

Для члена $b_{n+2}$ (подставляем $n+2$):

$b_{n+2} = 0,1 \cdot 2^{(n+2)-1} = 0,1 \cdot 2^{n+1}$.

Ответ: $b_{n-1} = 0,1 \cdot 2^{n-2}$; $b_{n+2} = 0,1 \cdot 2^{n+1}$.

580 Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$x_n = n^2 - n.$

a) Найдите $x_{10}$; $x_{15}$; $x_k$; $x_{k+1}$.

б) Каким членом этой последовательности является число 56? число 110?

а) Чтобы найти указанные члены последовательности, необходимо подставить соответствующие значения индекса ($10$, $15$, $k$, $k+1$) вместо $n$ в заданную формулу $x_n = n^2 - n$.

Для $x_{10}$ подставляем $n=10$:

$x_{10} = 10^2 - 10 = 100 - 10 = 90$

Для $x_{15}$ подставляем $n=15$:

$x_{15} = 15^2 - 15 = 225 - 15 = 210$

Для $x_k$ подставляем $n=k$:

$x_k = k^2 - k$

Для $x_{k+1}$ подставляем $n=k+1$:

$x_{k+1} = (k+1)^2 - (k+1) = (k^2 + 2k + 1) - (k+1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k$

Ответ: $x_{10} = 90$; $x_{15} = 210$; $x_k = k^2 - k$; $x_{k+1} = k^2 + k$.

б) Чтобы определить, каким членом последовательности является данное число, нужно приравнять $x_n$ к этому числу и найти $n$. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, он должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Определим номер для числа 56:

Составим уравнение, приравняв $x_n$ к 56:

$n^2 - n = 56$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - n - 56 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно $-56$, а их сумма равна $1$. Легко подобрать корни: $n_1 = 8$ и $n_2 = -7$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -7$ не подходит. Следовательно, $n = 8$.

Определим номер для числа 110:

Аналогично составим уравнение для числа 110:

$n^2 - n = 110$

Приведем к стандартному виду:

$n^2 - n - 110 = 0$

По теореме Виета, произведение корней равно $-110$, а их сумма равна $1$. Корнями являются числа $n_1 = 11$ и $n_2 = -10$.

Корень $n_2 = -10$ не подходит, так как номер члена должен быть натуральным. Следовательно, $n = 11$.

Ответ: число 56 является 8-м членом последовательности; число 110 является 11-м членом последовательности.

РАССУЖДАЕМ (581–582)

581 Последовательность ($z_n$) задана формулой $n$-го члена: $z_n = n - \frac{1}{n}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10.

Сколько таких членов?

2) Сравните $z_{10} - z_9$ и $z_{100} - z_{99}$.

Чтобы найти все члены последовательности $(z_n)$, которые меньше 10, необходимо решить неравенство $z_n < 10$ при условии, что $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Подставим формулу n-го члена в неравенство: $n - \frac{1}{n} < 10$

Поскольку $n \geq 1$, мы можем умножить обе части неравенства на $n$, не меняя знака неравенства: $n^2 - 1 < 10n$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $n^2 - 10n - 1 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 10n - 1 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения: $D = (-10)^2 - 4(1)(-1) = 100 + 4 = 104$ $n_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 5 \pm \sqrt{26}$

Так как $5^2=25$ и $5.1^2=26.01$, то $\sqrt{26} \approx 5.1$. Тогда корни приблизительно равны: $n_1 = 5 - \sqrt{26} \approx 5 - 5.1 = -0.1$ $n_2 = 5 + \sqrt{26} \approx 5 + 5.1 = 10.1$

Парабола $y = n^2 - 10n - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - 10n - 1 < 0$ выполняется между корнями: $5 - \sqrt{26} < n < 5 + \sqrt{26}$, или примерно $-0.1 < n < 10.1$. Так как $n$ — натуральное число, то подходящие значения для $n$ это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Таким образом, существует 10 членов последовательности, меньших 10.

Выпишем эти члены: $z_1 = 1 - \frac{1}{1} = 0$
$z_2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
$z_3 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
$z_4 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$
$z_5 = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$
$z_6 = 6 - \frac{1}{6} = \frac{35}{6}$
$z_7 = 7 - \frac{1}{7} = \frac{48}{7}$
$z_8 = 8 - \frac{1}{8} = \frac{63}{8} = 7.875$
$z_9 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$
$z_{10} = 10 - \frac{1}{10} = \frac{99}{10} = 9.9$

Ответ: Члены последовательности, меньшие 10: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \frac{35}{6}, \frac{48}{7}, \frac{63}{8}, \frac{80}{9}, \frac{99}{10}$. Всего таких членов 10.

Для сравнения выражений $z_{10} - z_9$ и $z_{100} - z_{99}$ найдем сначала общую формулу для разности $z_n - z_{n-1}$: $z_n - z_{n-1} = \left(n - \frac{1}{n}\right) - \left((n-1) - \frac{1}{n-1}\right) = n - \frac{1}{n} - n + 1 + \frac{1}{n-1} = 1 + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$

Приводя дроби к общему знаменателю $n(n-1)$, получаем: $1 + \frac{n}{n(n-1)} - \frac{n-1}{n(n-1)} = 1 + \frac{n - (n-1)}{n(n-1)} = 1 + \frac{1}{n(n-1)}$

Теперь воспользуемся этой формулой для вычисления конкретных разностей.

При $n=10$: $z_{10} - z_9 = 1 + \frac{1}{10(10-1)} = 1 + \frac{1}{10 \cdot 9} = 1 + \frac{1}{90}$

При $n=100$: $z_{100} - z_{99} = 1 + \frac{1}{100(100-1)} = 1 + \frac{1}{100 \cdot 99} = 1 + \frac{1}{9900}$

Теперь сравним полученные результаты: $1 + \frac{1}{90}$ и $1 + \frac{1}{9900}$. Поскольку знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй ($90 < 9900$), значение первой дроби будет больше значения второй: $\frac{1}{90} > \frac{1}{9900}$

Следовательно: $1 + \frac{1}{90} > 1 + \frac{1}{9900}$ $z_{10} - z_9 > z_{100} - z_{99}$

Ответ: $z_{10} - z_9 > z_{100} - z_{99}$.

582 Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена: $y_n = 3^{n-5}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие $\frac{1}{10}$ и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

2) Сравните отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$ и $\frac{y_{100}}{y_{99}}$.

1) По условию, нам нужно найти все члены последовательности $(y_n)$, заданной формулой $y_n = 3^{n-5}$, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$\frac{1}{10} < y_n < 10$

Подставим в неравенство формулу $n$-го члена последовательности:

$\frac{1}{10} < 3^{n-5} < 10$

Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), мы можем найти подходящие значения $n$, вычисляя $y_n$ для последовательных значений $n$ и проверяя, попадают ли они в заданный интервал.

• При $n=1$: $y_1 = 3^{1-5} = 3^{-4} = \frac{1}{81}$. Неравенство $\frac{1}{81} > \frac{1}{10}$ неверно.
• При $n=2$: $y_2 = 3^{2-5} = 3^{-3} = \frac{1}{27}$. Неравенство $\frac{1}{27} > \frac{1}{10}$ неверно.
• При $n=3$: $y_3 = 3^{3-5} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Неравенство $\frac{1}{10} < \frac{1}{9} < 10$ верно, так как $10 > 9 > 0$ и $9 < 10$.
• При $n=4$: $y_4 = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Неравенство $\frac{1}{10} < \frac{1}{3} < 10$ верно.
• При $n=5$: $y_5 = 3^{5-5} = 3^0 = 1$. Неравенство $\frac{1}{10} < 1 < 10$ верно.
• При $n=6$: $y_6 = 3^{6-5} = 3^1 = 3$. Неравенство $\frac{1}{10} < 3 < 10$ верно.
• При $n=7$: $y_7 = 3^{7-5} = 3^2 = 9$. Неравенство $\frac{1}{10} < 9 < 10$ верно.
• При $n=8$: $y_8 = 3^{8-5} = 3^3 = 27$. Неравенство $27 < 10$ неверно.

Для всех $n \geq 8$ члены последовательности будут только увеличиваться и, следовательно, не будут удовлетворять условию $y_n < 10$.

Таким образом, условию удовлетворяют члены последовательности с номерами 3, 4, 5, 6, 7. Значения этих членов: $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{3}$, $1$, $3$, $9$.

Ответ: Члены последовательности, большие $\frac{1}{10}$ и меньшие 10: $y_3 = \frac{1}{9}$, $y_4 = \frac{1}{3}$, $y_5 = 1$, $y_6 = 3$, $y_7 = 9$. Номера этих членов: 3, 4, 5, 6, 7.

2) Для сравнения двух отношений, вычислим каждое из них.

Найдем первое отношение $\frac{y_{10}}{y_9}$.

Используя формулу $y_n = 3^{n-5}$, получаем:

$y_{10} = 3^{10-5} = 3^5$

$y_{9} = 3^{9-5} = 3^4$

Следовательно, их отношение равно:

$\frac{y_{10}}{y_9} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$

Теперь найдем второе отношение $\frac{y_{100}}{y_{99}}$.

Аналогично, получаем:

$y_{100} = 3^{100-5} = 3^{95}$

$y_{99} = 3^{99-5} = 3^{94}$

Их отношение равно:

$\frac{y_{100}}{y_{99}} = \frac{3^{95}}{3^{94}} = 3^{95-94} = 3^1 = 3$

Сравнивая результаты, мы видим, что оба отношения равны 3.

Ответ: Отношения равны: $\frac{y_{10}}{y_9} = \frac{y_{100}}{y_{99}}$.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (583–584)

583 Найдите первые десять членов последовательности и опишите её словами:

а) $b_n = (-1)^n$;

б) $x_n = \frac{(-1)^{n-1}}{10}$;

в) $y_n = (-1)^{n+1} + 1$;

г) $a_n = (-1)^n \cdot n$;

д) $z_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$;

е) $c_n = 3(-1)^n$.

а) Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^n$, найдем первые десять членов, подставляя вместо $n$ натуральные числа от 1 до 10:
$b_1 = (-1)^1 = -1$
$b_2 = (-1)^2 = 1$
$b_3 = (-1)^3 = -1$
$b_4 = (-1)^4 = 1$
$b_5 = (-1)^5 = -1$
$b_6 = (-1)^6 = 1$
$b_7 = (-1)^7 = -1$
$b_8 = (-1)^8 = 1$
$b_9 = (-1)^9 = -1$
$b_{10} = (-1)^{10} = 1$
Первые десять членов последовательности: -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены последовательности с нечетными номерами (индексами) равны -1, а с четными номерами — 1.
Ответ: Первые десять членов: -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны -1, а четные равны 1.

б) Для последовательности, заданной формулой $x_n = \frac{(-1)^{n-1}}{10}$, найдем первые десять членов:
$x_1 = \frac{(-1)^{1-1}}{10} = \frac{(-1)^0}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_2 = \frac{(-1)^{2-1}}{10} = \frac{(-1)^1}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_3 = \frac{(-1)^{3-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_4 = \frac{(-1)^{4-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_5 = \frac{(-1)^{5-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_6 = \frac{(-1)^{6-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_7 = \frac{(-1)^{7-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_8 = \frac{(-1)^{8-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
$x_9 = \frac{(-1)^{9-1}}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$
$x_{10} = \frac{(-1)^{10-1}}{10} = -\frac{1}{10} = -0,1$
Первые десять членов последовательности: 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены с нечетными номерами равны 0,1, а с четными — -0,1.
Ответ: Первые десять членов: 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1; 0,1; -0,1. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны 0,1, а четные равны -0,1.

в) Для последовательности, заданной формулой $y_n = (-1)^{n+1} + 1$, найдем первые десять членов:
$y_1 = (-1)^{1+1} + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
$y_2 = (-1)^{2+1} + 1 = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$
$y_3 = (-1)^{3+1} + 1 = 2$
$y_4 = (-1)^{4+1} + 1 = 0$
$y_5 = (-1)^{5+1} + 1 = 2$
$y_6 = (-1)^{6+1} + 1 = 0$
$y_7 = (-1)^{7+1} + 1 = 2$
$y_8 = (-1)^{8+1} + 1 = 0$
$y_9 = (-1)^{9+1} + 1 = 2$
$y_{10} = (-1)^{10+1} + 1 = 0$
Первые десять членов последовательности: 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены с нечетными номерами равны 2, а с четными — 0.
Ответ: Первые десять членов: 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны 2, а четные равны 0.

г) Для последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$, найдем первые десять членов:
$a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$
$a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
$a_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$
$a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 4$
$a_5 = (-1)^5 \cdot 5 = -5$
$a_6 = (-1)^6 \cdot 6 = 6$
$a_7 = (-1)^7 \cdot 7 = -7$
$a_8 = (-1)^8 \cdot 8 = 8$
$a_9 = (-1)^9 \cdot 9 = -9$
$a_{10} = (-1)^{10} \cdot 10 = 10$
Первые десять членов последовательности: -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Модуль каждого члена равен его номеру. Члены с нечетными номерами отрицательны, а с четными — положительны.
Ответ: Первые десять членов: -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10. Описание: знакочередующаяся последовательность, n-й член которой равен n по модулю; нечетные члены отрицательны, четные — положительны.

д) Для последовательности, заданной формулой $z_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$, найдем первые десять членов:
$z_1 = \frac{(-1)^1 + 1}{1} = \frac{0}{1} = 0$
$z_2 = \frac{(-1)^2 + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_3 = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$
$z_4 = \frac{(-1)^4 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$z_5 = \frac{(-1)^5 + 1}{5} = 0$
$z_6 = \frac{(-1)^6 + 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$z_7 = \frac{(-1)^7 + 1}{7} = 0$
$z_8 = \frac{(-1)^8 + 1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$z_9 = \frac{(-1)^9 + 1}{9} = 0$
$z_{10} = \frac{(-1)^{10} + 1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Первые десять членов последовательности: 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, 0, $\frac{1}{5}$.
Описание словами: все члены с нечетными номерами равны нулю. Член с четным номером $n$ равен $\frac{2}{n}$. Если четный номер представить в виде $n=2k$, то $n$-й член равен $\frac{1}{k}$.
Ответ: Первые десять членов: 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, 0, $\frac{1}{5}$. Описание: все нечетные члены равны 0, а каждый четный член с номером $n$ равен $\frac{2}{n}$.

е) Для последовательности, заданной формулой $c_n = 3^{(-1)^n}$, найдем первые десять членов:
$c_1 = 3^{(-1)^1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$
$c_2 = 3^{(-1)^2} = 3^1 = 3$
$c_3 = 3^{(-1)^3} = \frac{1}{3}$
$c_4 = 3^{(-1)^4} = 3$
$c_5 = 3^{(-1)^5} = \frac{1}{3}$
$c_6 = 3^{(-1)^6} = 3$
$c_7 = 3^{(-1)^7} = \frac{1}{3}$
$c_8 = 3^{(-1)^8} = 3$
$c_9 = 3^{(-1)^9} = \frac{1}{3}$
$c_{10} = 3^{(-1)^{10}} = 3$
Первые десять членов последовательности: $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.
Описание словами: это знакочередующаяся последовательность. Члены с нечетными номерами равны $\frac{1}{3}$, а с четными — 3.
Ответ: Первые десять членов: $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3. Описание: последовательность, в которой нечетные члены равны $\frac{1}{3}$, а четные равны 3.