Страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

571 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Предположим, что родители дали вам 1 рубль и у вас имеются две возможности дальнейшего получения денег. Первая: ежедневно вы будете получать сумму, на 2 рубля большую, чем получили в предыдущий день. Вторая: во второй день вы получите 1 рубль, а начиная с третьего дня будете получать ежедневно столько рублей, сколько получили за предшествующие два дня вместе.

1) Заполните таблицу для первых десяти дней.

2) Изобразите каждую из получившихся последовательностей точками на координатной плоскости: по горизонтальной оси откладывайте номер дня, а по вертикальной — полученную в этот день сумму денег. Какой из способов выгоднее, если вы планируете получать деньги в течение одной недели? в течение одного месяца?

3) Задайте каждую из этих последовательностей рекуррентным способом, обозначив первую из них через $(a_n)$, а вторую — через $(b_n)$.

1) Заполним таблицу для первых десяти дней, следуя условиям задачи.

Для I способа, каждый день сумма увеличивается на 2 рубля. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$.Последовательность ежедневных выплат: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$.

Для II способа, первые два дня сумма равна 1 рублю, а каждый последующий день сумма равна сумме за два предыдущих дня. Это последовательность, аналогичная числам Фибоначчи.Последовательность ежедневных выплат: $1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55$.

Заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

2) Для изображения последовательностей на координатной плоскости мы откладываем номер дня (n) по горизонтальной оси (ось абсцисс) и полученную сумму ($a_n$ или $b_n$) по вертикальной оси (ось ординат).

Точки для I способа (последовательность $a_n$): $(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 9), ...$ Эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = 2x - 1$. График представляет собой линейный рост.

Точки для II способа (последовательность $b_n$): $(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 5), (6, 8), ...$ График этой последовательности демонстрирует ускоряющийся рост, характерный для экспоненциальной функции.

Чтобы определить, какой способ выгоднее, нужно сравнить общую сумму денег, полученную за определенный период.

Выгода за 1 неделю (7 дней):
Общая сумма по I способу: $S_7(a) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49$ рублей.
Общая сумма по II способу: $S_7(b) = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33$ рубля.
За неделю выгоднее первый способ.

Выгода за 1 месяц (примем 30 дней):
Общая сумма по I способу является суммой первых 30 членов арифметической прогрессии: $S_{30}(a) = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30$.
Найдем $a_{30}$: $a_{30} = a_1 + (30-1)d = 1 + 29 \cdot 2 = 1 + 58 = 59$.
$S_{30}(a) = \frac{1 + 59}{2} \cdot 30 = \frac{60}{2} \cdot 30 = 30 \cdot 30 = 900$ рублей.
Общая сумма по II способу. Рост этой последовательности очень быстрый. Уже на 8-й день ежедневная выплата по второму способу ($21$ рубль) становится больше, чем по первому ($15$ рублей). К 30-му дню ежедневная выплата составит $b_{30} = 832040$ рублей. Эта сумма, полученная только за один день, значительно превышает общую сумму за месяц по первому способу ($900$ рублей). Следовательно, за месяц второй способ намного выгоднее.
(Полная сумма по второму способу за 30 дней составляет $S_{30}(b) = 2\ 178\ 308$ рублей).

Ответ: За одну неделю выгоднее I способ ($49$ рублей против $33$). За один месяц значительно выгоднее II способ (общая сумма $900$ рублей против $2\ 178\ 308$ рублей).

3) Зададим каждую последовательность рекуррентным способом, обозначив первую через $(a_n)$, а вторую — через $(b_n)$.

I способ (последовательность $a_n$):
Каждый следующий член на 2 больше предыдущего. Это можно записать как:
$a_1 = 1$
$a_n = a_{n-1} + 2$ для $n \ge 2$.

II способ (последовательность $b_n$):
Каждый следующий член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Это можно записать как:
$b_1 = 1$
$b_2 = 1$
$b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ для $n \ge 3$.

Ответ:
Для первой последовательности ($a_n$): $a_1=1$, $a_n = a_{n-1} + 2$ при $n \ge 2$.
Для второй последовательности ($b_n$): $b_1=1$, $b_2=1$, $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ при $n \ge 3$.

572 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ И ТЕРМИНАМИ

Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два члена и задайте её рекуррентным способом:

a) 64; 60; 56; 52; 48; ... ($a_n$); в) 1; 3; 9; 27; 81; ... ($x_n$);

б) 3; 8; 13; 18; 23; ... ($c_n$); г) 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ... ($b_n$).

а) Рассмотрим последовательность 64; 60; 56; 52; 48; ... ($a_n$).
Правило: Чтобы найти закономерность, вычислим разность между соседними членами последовательности: $60 - 64 = -4$; $56 - 60 = -4$; $52 - 56 = -4$; $48 - 52 = -4$. Мы видим, что каждый следующий член последовательности на 4 меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -4$.
Следующие два члена: Чтобы найти шестой член ($a_6$), нужно из пятого члена ($a_5=48$) вычесть 4: $a_6 = 48 - 4 = 44$. Чтобы найти седьмой член ($a_7$), нужно из шестого ($a_6=44$) вычесть 4: $a_7 = 44 - 4 = 40$.
Рекуррентный способ: Для задания последовательности рекуррентным способом нужно указать её первый член и формулу для нахождения любого члена, начиная со второго, через предыдущий. Первый член $a_1 = 64$. Формула для последующих членов: $a_{n+1} = a_n - 4$.
Ответ: следующие два члена: 44 и 40. Рекуррентная формула: $a_1 = 64, a_{n+1} = a_n - 4$.

б) Рассмотрим последовательность 3; 8; 13; 18; 23; ... ($c_n$).
Правило: Вычислим разность между соседними членами: $8 - 3 = 5$; $13 - 8 = 5$; $18 - 13 = 5$; $23 - 18 = 5$. Каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 5$.
Следующие два члена: Шестой член: $c_6 = 23 + 5 = 28$. Седьмой член: $c_7 = 28 + 5 = 33$.
Рекуррентный способ: Первый член $c_1 = 3$. Формула для последующих членов: $c_{n+1} = c_n + 5$.
Ответ: следующие два члена: 28 и 33. Рекуррентная формула: $c_1 = 3, c_{n+1} = c_n + 5$.

в) Рассмотрим последовательность 1; 3; 9; 27; 81; ... ($x_n$).
Правило: Найдем отношение между соседними членами: $3 / 1 = 3$; $9 / 3 = 3$; $27 / 9 = 3$; $81 / 27 = 3$. Каждый следующий член последовательности в 3 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$.
Следующие два члена: Шестой член: $x_6 = 81 \cdot 3 = 243$. Седьмой член: $x_7 = 243 \cdot 3 = 729$.
Рекуррентный способ: Первый член $x_1 = 1$. Формула для последующих членов: $x_{n+1} = x_n \cdot 3$ или $x_{n+1} = 3x_n$.
Ответ: следующие два члена: 243 и 729. Рекуррентная формула: $x_1 = 1, x_{n+1} = 3x_n$.

г) Рассмотрим последовательность 500; 50; 5; 0,5; 0,05; ... ($b_n$).
Правило: Найдем отношение между соседними членами: $50 / 500 = 0,1$; $5 / 50 = 0,1$; $0,5 / 5 = 0,1$; $0,05 / 0,5 = 0,1$. Каждый следующий член последовательности в 10 раз меньше предыдущего (или равен предыдущему, умноженному на 0,1). Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 0,1$.
Следующие два члена: Шестой член: $b_6 = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005$. Седьмой член: $b_7 = 0,005 \cdot 0,1 = 0,0005$.
Рекуррентный способ: Первый член $b_1 = 500$. Формула для последующих членов: $b_{n+1} = b_n \cdot 0,1$.
Ответ: следующие два члена: 0,005 и 0,0005. Рекуррентная формула: $b_1 = 500, b_{n+1} = 0,1 \cdot b_n$.