Номер 571, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 571, страница 224.

571 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Предположим, что родители дали вам 1 рубль и у вас имеются две возможности дальнейшего получения денег. Первая: ежедневно вы будете получать сумму, на 2 рубля большую, чем получили в предыдущий день. Вторая: во второй день вы получите 1 рубль, а начиная с третьего дня будете получать ежедневно столько рублей, сколько получили за предшествующие два дня вместе.

1) Заполните таблицу для первых десяти дней.

День	Сумма (в рублях)
	I способ	II способ
1	1	1
2	3	1
3
4
...

2) Изобразите каждую из получившихся последовательностей точками на координатной плоскости: по горизонтальной оси откладывайте номер дня, а по вертикальной — полученную в этот день сумму денег. Какой из способов выгоднее, если вы планируете получать деньги в течение одной недели? в течение одного месяца?

3) Задайте каждую из этих последовательностей рекуррентным способом, обозначив первую из них через $(a_n)$, а вторую — через $(b_n)$.

1) Заполним таблицу для первых десяти дней, следуя условиям задачи.

Для I способа, каждый день сумма увеличивается на 2 рубля. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$.Последовательность ежедневных выплат: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$.

Для II способа, первые два дня сумма равна 1 рублю, а каждый последующий день сумма равна сумме за два предыдущих дня. Это последовательность, аналогичная числам Фибоначчи.Последовательность ежедневных выплат: $1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55$.

Заполненная таблица:

День	Сумма (в рублях)
	I способ	II способ
1	1	1
2	3	1
3	5	2
4	7	3
5	9	5
6	11	8
7	13	13
8	15	21
9	17	34
10	19	55

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

2) Для изображения последовательностей на координатной плоскости мы откладываем номер дня (n) по горизонтальной оси (ось абсцисс) и полученную сумму ($a_n$ или $b_n$) по вертикальной оси (ось ординат).

Точки для I способа (последовательность $a_n$): $(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 9), ...$ Эти точки лежат на прямой, заданной уравнением $y = 2x - 1$. График представляет собой линейный рост.

Точки для II способа (последовательность $b_n$): $(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 5), (6, 8), ...$ График этой последовательности демонстрирует ускоряющийся рост, характерный для экспоненциальной функции.

Чтобы определить, какой способ выгоднее, нужно сравнить общую сумму денег, полученную за определенный период.

Выгода за 1 неделю (7 дней):
Общая сумма по I способу: $S_7(a) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49$ рублей.
Общая сумма по II способу: $S_7(b) = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33$ рубля.
За неделю выгоднее первый способ.

Выгода за 1 месяц (примем 30 дней):
Общая сумма по I способу является суммой первых 30 членов арифметической прогрессии: $S_{30}(a) = \frac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30$.
Найдем $a_{30}$: $a_{30} = a_1 + (30-1)d = 1 + 29 \cdot 2 = 1 + 58 = 59$.
$S_{30}(a) = \frac{1 + 59}{2} \cdot 30 = \frac{60}{2} \cdot 30 = 30 \cdot 30 = 900$ рублей.
Общая сумма по II способу. Рост этой последовательности очень быстрый. Уже на 8-й день ежедневная выплата по второму способу ($21$ рубль) становится больше, чем по первому ($15$ рублей). К 30-му дню ежедневная выплата составит $b_{30} = 832040$ рублей. Эта сумма, полученная только за один день, значительно превышает общую сумму за месяц по первому способу ($900$ рублей). Следовательно, за месяц второй способ намного выгоднее.
(Полная сумма по второму способу за 30 дней составляет $S_{30}(b) = 2\ 178\ 308$ рублей).

Ответ: За одну неделю выгоднее I способ ($49$ рублей против $33$). За один месяц значительно выгоднее II способ (общая сумма $900$ рублей против $2\ 178\ 308$ рублей).

3) Зададим каждую последовательность рекуррентным способом, обозначив первую через $(a_n)$, а вторую — через $(b_n)$.

I способ (последовательность $a_n$):
Каждый следующий член на 2 больше предыдущего. Это можно записать как:
$a_1 = 1$
$a_n = a_{n-1} + 2$ для $n \ge 2$.

II способ (последовательность $b_n$):
Каждый следующий член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Это можно записать как:
$b_1 = 1$
$b_2 = 1$
$b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ для $n \ge 3$.

Ответ:
Для первой последовательности ($a_n$): $a_1=1$, $a_n = a_{n-1} + 2$ при $n \ge 2$.
Для второй последовательности ($b_n$): $b_1=1$, $b_2=1$, $b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$ при $n \ge 3$.