Номер 573, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Числовые последовательности. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 573, страница 225.

573 ВЫЧИСЛЯЕМ ПО ФОРМУЛЕ Выпишите первые шесть членов последовательности, если:

а) $x_1 = 7, x_{n+1} = 10x_n;$

б) $a_1 = -10, a_{n+1} = \frac{1}{a_n};$

в) $c_1 = 0, c_2 = 1, c_n = c_{n-2} - c_{n-1}$, где $n \ge 3;$

г) $b_1 = -1, b_2 = -2, b_n = \frac{b_{n-2}}{b_{n-1}}$, где $n \ge 3.$

а) Последовательность задана первым членом $x_1 = 7$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = 10x_n$, которая определяет каждый следующий член через предыдущий. Чтобы найти первые шесть членов, будем последовательно вычислять их, начиная со второго.
Первый член задан: $x_1 = 7$.
Второй член ($n=1$): $x_2 = 10x_1 = 10 \cdot 7 = 70$.
Третий член ($n=2$): $x_3 = 10x_2 = 10 \cdot 70 = 700$.
Четвертый член ($n=3$): $x_4 = 10x_3 = 10 \cdot 700 = 7000$.
Пятый член ($n=4$): $x_5 = 10x_4 = 10 \cdot 7000 = 70000$.
Шестой член ($n=5$): $x_6 = 10x_5 = 10 \cdot 70000 = 700000$.
Ответ: 7, 70, 700, 7000, 70000, 700000.

б) Последовательность задана первым членом $a_1 = -10$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$. Найдем первые шесть членов последовательности.
Первый член задан: $a_1 = -10$.
Второй член ($n=1$): $a_2 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{-10} = -0.1$.
Третий член ($n=2$): $a_3 = \frac{1}{a_2} = \frac{1}{-0.1} = -10$.
Четвертый член ($n=3$): $a_4 = \frac{1}{a_3} = \frac{1}{-10} = -0.1$.
Пятый член ($n=4$): $a_5 = \frac{1}{a_4} = \frac{1}{-0.1} = -10$.
Шестой член ($n=5$): $a_6 = \frac{1}{a_5} = \frac{1}{-10} = -0.1$.
Видно, что члены последовательности чередуются.
Ответ: -10, -0.1, -10, -0.1, -10, -0.1.

в) Последовательность задана первыми двумя членами $c_1 = 0$, $c_2 = 1$ и рекуррентной формулой $c_n = c_{n-2} - c_{n-1}$ для $n \ge 3$. Эта формула определяет каждый член, начиная с третьего, через два предыдущих.
Первый член: $c_1 = 0$.
Второй член: $c_2 = 1$.
Третий член ($n=3$): $c_3 = c_1 - c_2 = 0 - 1 = -1$.
Четвертый член ($n=4$): $c_4 = c_2 - c_3 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Пятый член ($n=5$): $c_5 = c_3 - c_4 = -1 - 2 = -3$.
Шестой член ($n=6$): $c_6 = c_4 - c_5 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.
Ответ: 0, 1, -1, 2, -3, 5.

г) Последовательность задана первыми двумя членами $b_1 = -1$, $b_2 = -2$ и рекуррентной формулой $b_n = \frac{b_{n-2}}{b_{n-1}}$ для $n \ge 3$. Найдем первые шесть членов.
Первый член: $b_1 = -1$.
Второй член: $b_2 = -2$.
Третий член ($n=3$): $b_3 = \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
Четвертый член ($n=4$): $b_4 = \frac{b_2}{b_3} = \frac{-2}{1/2} = -4$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = \frac{b_3}{b_4} = \frac{1/2}{-4} = -\frac{1}{8} = -0.125$.
Шестой член ($n=6$): $b_6 = \frac{b_4}{b_5} = \frac{-4}{-1/8} = 32$.
Ответ: -1, -2, 0.5, -4, -0.125, 32.