Номер 14, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 14, страница 217.

14 Какому промежутку принадлежит положительный корень уравнения $\sqrt{x} = 0,5x^2$?

1) $[0; 1]$ 2) $[1; 2]$ 3) $[2; 3]$ 4) $[3; 4]$

Для решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x^2$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Правая часть уравнения $0,5x^2$ определена при любых $x$. Следовательно, ОДЗ уравнения есть $x \ge 0$.

Согласно условию, мы ищем положительный корень, то есть $x > 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Поскольку при $x \ge 0$ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x})^2 = (0,5x^2)^2$

$x = 0,25x^4$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$0,25x^4 - x = 0$

$x(0,25x^3 - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x = 0$ или $0,25x^3 - 1 = 0$.

Корень $x=0$ не является положительным. Найдем положительный корень из второго уравнения:

$0,25x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{0,25}$

$x^3 = 4$

$x = \sqrt[3]{4}$

Итак, положительный корень уравнения равен $\sqrt[3]{4}$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков принадлежит корень $\sqrt[3]{4}$. Сравним его с целыми числами:

Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$.

Поскольку $1 < 4 < 8$, то, извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{4} < \sqrt[3]{8}$

$1 < \sqrt[3]{4} < 2$

Следовательно, корень $\sqrt[3]{4}$ находится в интервале $(1; 2)$, а значит, принадлежит промежутку $[1; 2]$.

Ответ: $[1; 2]$.