Номер 8, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 8, страница 216.

8 Какое из уравнений имеет три корня?

1) $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = 0$

2) $\frac{x(x^2 - 1)}{x - 1} = 0$

3) $\frac{x(x^2 + 4)}{x - 1} = 0$

4) $\frac{x(x^2 - 4)}{x - 1} = 0$

Чтобы найти корни дробно-рационального уравнения вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$, необходимо решить систему:

$\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}$

Это означает, что мы должны найти корни числителя и убедиться, что при этих значениях знаменатель не обращается в ноль. Проанализируем каждое уравнение.

1) $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x^2 + 1 = 0$, или $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Поскольку у числителя нет действительных корней, то и у всего уравнения их нет.

Ответ: 0 корней.

2) $\frac{x(x^2 - 1)}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x(x^2 - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x^2 - 1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, потенциальные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Корень $x = 1$ не удовлетворяет этому условию (так как $1 - 1 = 0$), поэтому его нужно исключить. Остаются корни $x = 0$ и $x = -1$.

Ответ: 2 корня.

3) $\frac{x(x^2 + 4)}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x(x^2 + 4) = 0$.

$x = 0$ или $x^2 + 4 = 0$.

Уравнение $x^2 + 4 = 0$ (или $x^2 = -4$) не имеет действительных корней.

Единственный потенциальный корень — $x = 0$.

Проверим знаменатель: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Корень $x = 0$ удовлетворяет этому условию ($0 - 1 \neq 0$). Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: 1 корень.

4) $\frac{x(x^2 - 4)}{x - 1} = 0$

Приравняем числитель к нулю: $x(x^2 - 4) = 0$.

$x = 0$ или $x^2 - 4 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.

Потенциальные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Проверим знаменатель: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Ни один из найденных корней ($0, 2, -2$) не равен 1. Следовательно, все три значения являются корнями уравнения.

Ответ: 3 корня.