Номер 5, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 5, страница 216.

5 Какая из дробей не равна выражению $\frac{x-1}{x(x-2)} + \frac{1}{2-x}$?

1) $\frac{1}{2x-x^2}$

2) $\frac{2x-1}{x^2-2x}$

3) $-\frac{1}{x(x-2)}$

4) $\frac{1}{x(2-x)}$

Для того чтобы определить, какая из предложенных дробей не равна исходному выражению, сперва необходимо упростить само выражение: $ \frac{x-1}{x(x-2)} + \frac{1}{2-x} $.

Заметим, что знаменатели $ x(x-2) $ и $ 2-x $ связаны соотношением $ 2-x = -(x-2) $. Используем это для приведения дробей к общему знаменателю.

Преобразуем вторую дробь:

$ \frac{1}{2-x} = \frac{1}{-(x-2)} = -\frac{1}{x-2} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{1}{x-2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ x(x-2) $. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ x $:

$ \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{1 \cdot x}{(x-2) \cdot x} = \frac{x-1}{x(x-2)} - \frac{x}{x(x-2)} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(x-1) - x}{x(x-2)} = \frac{x - 1 - x}{x(x-2)} = \frac{-1}{x(x-2)} $

Итак, исходное выражение равно $ \frac{-1}{x(x-2)} $. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $ \frac{1}{2x-x^2} $

Разложим знаменатель на множители: $ 2x-x^2 = x(2-x) $. Дробь принимает вид $ \frac{1}{x(2-x)} $. Так как $ 2-x = -(x-2) $, то $ \frac{1}{x(2-x)} = \frac{1}{-x(x-2)} = -\frac{1}{x(x-2)} $. Эта дробь равна исходному выражению.

2) $ \frac{2x-1}{x^2-2x} $

Разложим знаменатель на множители: $ x^2-2x = x(x-2) $. Дробь принимает вид $ \frac{2x-1}{x(x-2)} $. Эта дробь не равна $ \frac{-1}{x(x-2)} $, поскольку их числители $ 2x-1 $ и $ -1 $ не равны тождественно.

3) $ -\frac{1}{x(x-2)} $

Эта дробь в точности равна упрощенному исходному выражению.

4) $ \frac{1}{x(2-x)} $

Как мы уже выяснили в пункте 1), $ \frac{1}{x(2-x)} = -\frac{1}{x(x-2)} $. Эта дробь равна исходному выражению.

Таким образом, единственная дробь, которая не равна исходному выражению, это дробь под номером 2.

Ответ: 2