Номер 11, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 11, страница 215.

11 Используя графики (см. рис. 3.22, а), решите уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$.

Чтобы решить уравнение $x^3 = \frac{1}{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = \frac{1}{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Она проходит через начало координат (0,0), точку (1,1) и точку (-1,-1). График симметричен относительно начала координат.

2. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Она также проходит через точки (1,1) и (-1,-1) и симметрична относительно начала координат. При $x=0$ функция не определена.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках:

• Точка в первой координатной четверти с координатами $(1; 1)$.
• Точка в третьей координатной четверти с координатами $(-1; -1)$.

Абсциссы этих точек пересечения и являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 1$ и $x = -1$.

Для проверки можно решить уравнение аналитически. При условии, что $x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $x$:

$x^3 \cdot x = 1$

$x^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$, что совпадает с графическим решением.

Ответ: $x = -1, x = 1$.