Номер 5, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 5, страница 215.

5 Найдите корни уравнения:

а) $(2x - 3)(x + 1)(3 - x) = 0;$

б) $x^3 - 9x = 0;$

В) $x^4 + 3x^2 = 0;$

Г) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0.$

а) Дано уравнение $(2x - 3)(x + 1)(3 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
3) $3 - x = 0 \implies x = 3$
Таким образом, уравнение имеет три корня: $1.5$, $-1$ и $3$.
Ответ: $-1; 1.5; 3$.

б) Дано уравнение $x^3 - 9x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 9) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Получаем уравнение: $x(x - 3)(x + 3) = 0$.
Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 3 = 0 \implies x = 3$
3) $x + 3 = 0 \implies x = -3$
Корни уравнения: $0$, $3$ и $-3$.
Ответ: $-3; 0; 3$.

в) Дано уравнение $x^4 + 3x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $0$.

г) Дано уравнение $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $7$, а их произведение равно $12$. Легко подобрать корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $x^2 = t_1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$
2) $x^2 = t_2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm2$
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; 2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}$.