Номер 9, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 9, страница 214.

9 Как решают системы двух уравнений с двумя переменными способом подстановки? Продемонстрируйте этот приём на примере системы $ \begin{cases} y - 2x = 2 \\ y - 5x^2 = -1 \end{cases} $

Как решают системы двух уравнений с двумя переменными способом подстановки?

Метод подстановки — это алгоритм для решения систем уравнений, который заключается в следующем:

1. Из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую (например, $y$ через $x$).
2. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной. В результате получается уравнение с одной переменной.
3. Решают это уравнение и находят значение одной переменной.
4. Подставляют найденное значение в выражение, полученное на первом шаге, и находят значение второй переменной.
5. Записывают ответ в виде пар значений $(x; y)$, которые являются решением системы.

Продемонстрируем этот приём на примере системы $\begin{cases} y - 2x = 2 \\ y - 5x^2 = -1 \end{cases}$

1. Выражение одной переменной через другую.
В данной системе удобнее всего выразить переменную $y$ из первого линейного уравнения $y - 2x = 2$:
$y = 2x + 2$

2. Подстановка выражения в другое уравнение.
Теперь подставим полученное выражение $2x + 2$ вместо $y$ во второе уравнение системы $y - 5x^2 = -1$:
$(2x + 2) - 5x^2 = -1$

3. Решение полученного уравнения с одной переменной.
Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Приведём его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$-5x^2 + 2x + 2 + 1 = 0$
$-5x^2 + 2x + 3 = 0$
Чтобы сделать работу с уравнением удобнее, умножим обе его части на $-1$:
$5x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$

4. Нахождение значения второй переменной.
Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение из шага 1: $y = 2x + 2$.
При $x_1 = 1$:
$y_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4$
Первое решение системы: $(1; 4)$.
При $x_2 = -0.6$:
$y_2 = 2 \cdot (-0.6) + 2 = -1.2 + 2 = 0.8$
Второе решение системы: $(-0.6; 0.8)$.

Ответ: $(1; 4)$, $(-0.6; 0.8)$.