Номер 7, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 7, страница 214.

7 На примере уравнения $\frac{x^2}{x-4} - 1 = \frac{16}{x-4}$ расскажите, как решают дробные уравнения.

Дробно-рациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби. Решение таких уравнений обычно выполняется по следующему алгоритму, который мы и продемонстрируем на примере уравнения $ \frac{x^2}{x-4} - 1 = \frac{16}{x-4} $.

1. Нахождение Области допустимых значений (ОДЗ)

Первый и самый важный шаг — определить, при каких значениях переменной $x$ уравнение имеет смысл. Основное ограничение для дробей: знаменатель не может быть равен нулю.
В нашем уравнении есть знаменатель $x-4$.
Поэтому мы требуем, чтобы $x - 4 \neq 0$.
Отсюда следует, что $x \neq 4$.
Это и есть наша ОДЗ: $x$ может быть любым числом, кроме 4.

2. Преобразование уравнения

Цель этого шага — избавиться от дробей. Для этого перенесем все члены уравнения в одну сторону (обычно в левую) и приведем их к общему знаменателю.
$ \frac{x^2}{x-4} - 1 - \frac{16}{x-4} = 0 $
Общий знаменатель здесь $x-4$. Представим член '-1' как дробь с этим знаменателем: $-1 = -\frac{x-4}{x-4}$.
Теперь объединим все в одну дробь:
$ \frac{x^2 - (x-4) - 16}{x-4} = 0 $
Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$ \frac{x^2 - x + 4 - 16}{x-4} = 0 $
$ \frac{x^2 - x - 12}{x-4} = 0 $

3. Решение уравнения для числителя

Уравнение вида $ \frac{A}{B} = 0 $ равносильно системе: $ \begin{cases} A = 0 \\ B \neq 0 \end{cases} $. Условие $B \neq 0$ мы уже учли в ОДЗ. Поэтому нам остается решить уравнение, приравняв числитель к нулю.
$ x^2 - x - 12 = 0 $
Это стандартное квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $.
Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два корня:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1+7}{2} = 4 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1-7}{2} = -3 $
Мы получили два кандидата в решения: 4 и -3.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ

На последнем шаге мы должны проверить, принадлежат ли найденные корни нашей области допустимых значений ($x \neq 4$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ. Это значение обращает знаменатель исходной дроби в ноль, что недопустимо. Следовательно, $x = 4$ — это посторонний корень.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \neq 4$.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x = -3$.

Ответ: -3.