Номер 4, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 214.

4 Докажите, что равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством.

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать, что равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством, достаточно показать, что оно не выполняется для всех значений переменной $x$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Преобразование левой части равенства

Раскроем скобки в левой части равенства, используя формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 1$:
$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:
Левая часть после преобразования: $x^2 - 2x + 1$.
Правая часть: $x^2 - 1$.

Очевидно, что $x^2 - 2x + 1 \neq x^2 - 1$. Равенство будет верным только в том случае, если $-2x + 1 = -1$, что приводит к $-2x = -2$, и, следовательно, $x=1$.
Поскольку равенство верно лишь для одного значения $x=1$, а не для всех, оно не является тождеством.

Способ 2: Метод контрпримера

Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной $x$, при котором равенство будет неверным.

Возьмем любое простое значение для $x$, например, $x = 2$.
Подставим это значение в левую и правую части исходного равенства.

Левая часть: $(x-1)^2 = (2-1)^2 = 1^2 = 1$.

Правая часть: $x^2-1 = 2^2-1 = 4-1 = 3$.

Мы получили неверное числовое равенство: $1 \neq 3$.
Поскольку мы нашли значение $x$, при котором равенство не выполняется, это доказывает, что оно не является тождеством.

Ответ: Равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством. Это доказано как преобразованием левой части в $x^2 - 2x + 1$, что не равно правой части $x^2 - 1$, так и приведением контрпримера: при $x=2$ равенство становится неверным ($1 = 3$).