Страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3 Как доказывают тождества? Докажите тождество:

$x(x + y) - y(x + y) = x^2 - y^2.$

Как доказывают тождества?

Тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать тождество, необходимо показать, что его левая и правая части равны. Для этого используют тождественные преобразования. Существует несколько основных способов доказательства:

• Преобразование левой части к правой. Выполняют алгебраические преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т.д.) над выражением в левой части равенства до тех пор, пока оно не станет идентичным выражению в правой части.
• Преобразование правой части к левой. Аналогично первому способу, но преобразования выполняются над правой частью равенства. Этот способ удобен, если правая часть выглядит сложнее левой.
• Преобразование обеих частей к одному и тому же выражению. Иногда проще упростить обе части равенства по отдельности. Если в результате преобразований левая и правая части приводятся к одному и тому же выражению, тождество считается доказанным.
• Доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю. Переносят все члены из правой части в левую (или наоборот) и доказывают, что получившееся выражение тождественно равно нулю.

Докажите тождество: $x(x + y) - y(x + y) = x^2 - y^2$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Рассмотрим левую часть тождества: $x(x + y) - y(x + y)$.

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $a(b + c) = ab + ac$:

$x(x + y) - y(x + y) = (x \cdot x + x \cdot y) - (y \cdot x + y \cdot y) = (x^2 + xy) - (xy + y^2)$

2. Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$x^2 + xy - xy - y^2$

3. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $xy$ и $-xy$ являются противоположными, и их сумма равна нулю ($xy - xy = 0$):

$x^2 + 0 - y^2 = x^2 - y^2$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части: $x^2 - y^2 = x^2 - y^2$.

Способ 2: Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ является более коротким и изящным.

1. В левой части выражения $x(x + y) - y(x + y)$ слагаемые $x(x + y)$ и $-y(x + y)$ имеют общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(x - y)$

2. Полученное выражение представляет собой известную формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Применим ее:

$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$

Левая часть тождества снова приведена к виду правой части.

Поскольку в результате тождественных преобразований левая часть выражения стала равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4 Докажите, что равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством.

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать, что равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством, достаточно показать, что оно не выполняется для всех значений переменной $x$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Преобразование левой части равенства

Раскроем скобки в левой части равенства, используя формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 1$:
$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:
Левая часть после преобразования: $x^2 - 2x + 1$.
Правая часть: $x^2 - 1$.

Очевидно, что $x^2 - 2x + 1 \neq x^2 - 1$. Равенство будет верным только в том случае, если $-2x + 1 = -1$, что приводит к $-2x = -2$, и, следовательно, $x=1$.
Поскольку равенство верно лишь для одного значения $x=1$, а не для всех, оно не является тождеством.

Способ 2: Метод контрпримера

Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной $x$, при котором равенство будет неверным.

Возьмем любое простое значение для $x$, например, $x = 2$.
Подставим это значение в левую и правую части исходного равенства.

Левая часть: $(x-1)^2 = (2-1)^2 = 1^2 = 1$.

Правая часть: $x^2-1 = 2^2-1 = 4-1 = 3$.

Мы получили неверное числовое равенство: $1 \neq 3$.
Поскольку мы нашли значение $x$, при котором равенство не выполняется, это доказывает, что оно не является тождеством.

Ответ: Равенство $(x - 1)^2 = x^2 - 1$ не является тождеством. Это доказано как преобразованием левой части в $x^2 - 2x + 1$, что не равно правой части $x^2 - 1$, так и приведением контрпримера: при $x=2$ равенство становится неверным ($1 = 3$).

5 Какие из уравнений $2/x + x = -2$, $x^2/2 - 3x = 0$, $2x^2 = 3x + 7$, $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$, $1/(x-1) - 2/(x+1) = 3$ являются целыми? дробными?

Для того чтобы классифицировать представленные уравнения, необходимо определить, содержат ли они деление на переменную или на выражение с переменной. Уравнения, не содержащие такого деления, называются целыми. Уравнения, в которых есть деление на переменную, называются дробными.

Целые уравнения

К целым относятся уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями (многочленами), то есть в них отсутствует деление на переменную. В данном списке это следующие уравнения:

1. $ \frac{x^2}{2} - 3x = 0 $
Это уравнение является целым, так как деление в члене $ \frac{x^2}{2} $ происходит на константу (число 2), а не на переменную. Это уравнение является многочленом второй степени.

2. $ 2x^2 = 3x + 7 $
Данное уравнение можно привести к стандартному виду $ 2x^2 - 3x - 7 = 0 $. Оно представляет собой многочлен, деление на переменную в нем отсутствует.

3. $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $
Это уравнение также является целым, поскольку представляет собой многочлен третьей степени и не содержит деления на переменную.

Ответ: целыми являются уравнения $ \frac{x^2}{2} - 3x = 0 $; $ 2x^2 = 3x + 7 $; $ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 $.

Дробные уравнения

К дробным относятся уравнения, в которых присутствует деление на переменную или на выражение, содержащее переменную. В данном списке это следующие уравнения:

1. $ \frac{2}{x} + x = -2 $
Это уравнение является дробным, так как содержит слагаемое $ \frac{2}{x} $, где в знаменателе находится переменная $x$.

2. $ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+1} = 3 $
Это уравнение также является дробным, поскольку содержит дроби, в знаменателях которых находятся выражения с переменной: $ (x-1) $ и $ (x+1) $.

Ответ: дробными являются уравнения $ \frac{2}{x} + x = -2 $; $ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+1} = 3 $.

6 Какие приёмы решения целых уравнений, степень которых выше второй, вам известны? Решите уравнение:

а) $x^3 + 2x^2 = 0;$

б) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0.$

Для решения целых уравнений, степень которых выше второй, известны следующие основные приёмы:

1. Разложение на множители. Этот метод заключается в представлении многочлена в виде произведения нескольких сомножителей (например, вынесением общего множителя за скобки, методом группировки или с помощью формул сокращённого умножения). Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю.

2. Введение новой переменной (метод замены). Этот приём используется для сведения уравнения к более простому, как правило, квадратному. Особенно часто он применяется для решения биквадратных уравнений вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$.

3. Подбор рациональных корней. Для многочлена с целыми коэффициентами можно попытаться найти целый корень среди делителей свободного члена. После нахождения корня $x_1$, многочлен можно разделить на двучлен $(x - x_1)$, тем самым понизив степень исходного уравнения.

а) $x^3 + 2x^2 = 0$

Для решения данного уравнения применим метод разложения на множители. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x^2 = 0 \implies x = 0$
2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 0$.

б) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Решим его методом введения новой переменной.
Пусть $t = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, новая переменная должна удовлетворять условию $t \ge 0$.
Заменив $x^2$ на $t$ в исходном уравнении, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1) $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$
2) $x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm2$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm\sqrt{2}$.

7 На примере уравнения $\frac{x^2}{x-4} - 1 = \frac{16}{x-4}$ расскажите, как решают дробные уравнения.

Дробно-рациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби. Решение таких уравнений обычно выполняется по следующему алгоритму, который мы и продемонстрируем на примере уравнения $ \frac{x^2}{x-4} - 1 = \frac{16}{x-4} $.

1. Нахождение Области допустимых значений (ОДЗ)

Первый и самый важный шаг — определить, при каких значениях переменной $x$ уравнение имеет смысл. Основное ограничение для дробей: знаменатель не может быть равен нулю.
В нашем уравнении есть знаменатель $x-4$.
Поэтому мы требуем, чтобы $x - 4 \neq 0$.
Отсюда следует, что $x \neq 4$.
Это и есть наша ОДЗ: $x$ может быть любым числом, кроме 4.

2. Преобразование уравнения

Цель этого шага — избавиться от дробей. Для этого перенесем все члены уравнения в одну сторону (обычно в левую) и приведем их к общему знаменателю.
$ \frac{x^2}{x-4} - 1 - \frac{16}{x-4} = 0 $
Общий знаменатель здесь $x-4$. Представим член '-1' как дробь с этим знаменателем: $-1 = -\frac{x-4}{x-4}$.
Теперь объединим все в одну дробь:
$ \frac{x^2 - (x-4) - 16}{x-4} = 0 $
Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$ \frac{x^2 - x + 4 - 16}{x-4} = 0 $
$ \frac{x^2 - x - 12}{x-4} = 0 $

3. Решение уравнения для числителя

Уравнение вида $ \frac{A}{B} = 0 $ равносильно системе: $ \begin{cases} A = 0 \\ B \neq 0 \end{cases} $. Условие $B \neq 0$ мы уже учли в ОДЗ. Поэтому нам остается решить уравнение, приравняв числитель к нулю.
$ x^2 - x - 12 = 0 $
Это стандартное квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $.
Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два корня:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1+7}{2} = 4 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1-7}{2} = -3 $
Мы получили два кандидата в решения: 4 и -3.

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ

На последнем шаге мы должны проверить, принадлежат ли найденные корни нашей области допустимых значений ($x \neq 4$).
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ. Это значение обращает знаменатель исходной дроби в ноль, что недопустимо. Следовательно, $x = 4$ — это посторонний корень.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \neq 4$.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x = -3$.

Ответ: -3.

8 На примере системы $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ x + y = 2 \end{cases}$ покажите, в чём состоит графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными.

Графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы построить в одной координатной плоскости графики каждого из уравнений и найти координаты точек их пересечения. Координаты каждой такой точки будут являться решением системы, поскольку они удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Рассмотрим этот метод на примере системы:

1. Построение графика первого уравнения $x^2 + y^2 = 9$.

Уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности. Стандартный вид уравнения окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$ выглядит так: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.

В нашем случае уравнение можно представить как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2$. Из этого следует, что графиком является окружность с центром в начале координат, точке $(0; 0)$, и радиусом $r = 3$.

2. Построение графика второго уравнения $x + y = 2$.

Уравнение $x + y = 2$ является линейным, его график — прямая. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух любых ее точек. Для удобства выразим $y$ через $x$: $y = 2 - x$.

• При $x=0$, $y = 2 - 0 = 2$. Первая точка — $(0; 2)$.
• При $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Вторая точка — $(2; 0)$.

Проводим прямую через эти две точки в той же системе координат, где построена окружность.

3. Нахождение решения системы.

Решениями системы являются координаты точек, в которых построенные графики (окружность и прямая) пересекаются. Визуально на графике можно определить, что таких точек две. Одна из них расположена в первой координатной четверти, другая — в четвертой.

Координаты этих точек и есть искомые решения системы. Графический метод позволяет найти их приблизительно. Для нахождения точных значений потребовалось бы аналитическое решение, но суть графического метода состоит именно в нахождении решения путем построения и анализа графиков.

Ответ: Суть графического способа решения системы уравнений состоит в построении графиков для каждого уравнения в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения. Для данной системы необходимо построить окружность $x^2 + y^2 = 9$ (центр в $(0;0)$, радиус 3) и прямую $x+y=2$. Координаты двух точек пересечения этих графиков и будут решениями системы.

9 Как решают системы двух уравнений с двумя переменными способом подстановки? Продемонстрируйте этот приём на примере системы $ \begin{cases} y - 2x = 2 \\ y - 5x^2 = -1 \end{cases} $

Как решают системы двух уравнений с двумя переменными способом подстановки?

Метод подстановки — это алгоритм для решения систем уравнений, который заключается в следующем:

1. Из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую (например, $y$ через $x$).
2. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной. В результате получается уравнение с одной переменной.
3. Решают это уравнение и находят значение одной переменной.
4. Подставляют найденное значение в выражение, полученное на первом шаге, и находят значение второй переменной.
5. Записывают ответ в виде пар значений $(x; y)$, которые являются решением системы.

Продемонстрируем этот приём на примере системы $\begin{cases} y - 2x = 2 \\ y - 5x^2 = -1 \end{cases}$

1. Выражение одной переменной через другую.
В данной системе удобнее всего выразить переменную $y$ из первого линейного уравнения $y - 2x = 2$:
$y = 2x + 2$

2. Подстановка выражения в другое уравнение.
Теперь подставим полученное выражение $2x + 2$ вместо $y$ во второе уравнение системы $y - 5x^2 = -1$:
$(2x + 2) - 5x^2 = -1$

3. Решение полученного уравнения с одной переменной.
Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Приведём его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$-5x^2 + 2x + 2 + 1 = 0$
$-5x^2 + 2x + 3 = 0$
Чтобы сделать работу с уравнением удобнее, умножим обе его части на $-1$:
$5x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$

4. Нахождение значения второй переменной.
Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение из шага 1: $y = 2x + 2$.
При $x_1 = 1$:
$y_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4$
Первое решение системы: $(1; 4)$.
При $x_2 = -0.6$:
$y_2 = 2 \cdot (-0.6) + 2 = -1.2 + 2 = 0.8$
Второе решение системы: $(-0.6; 0.8)$.

Ответ: $(1; 4)$, $(-0.6; 0.8)$.

10 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение

$\frac{1}{x} = 4 - x^2$

Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $ \frac{1}{x} = 4 - x^2 $, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Это функции $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = 4 - x^2 $. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($Ox$ и $Oy$) являются асимптотами для этой гиперболы.

График функции $ y = 4 - x^2 $ — это парабола. Она получена из графика $ y = -x^2 $ сдвигом вверх на 4 единицы. Ветви этой параболы направлены вниз, а её вершина находится в точке $(0, 4)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках, где $y=0$, то есть $4 - x^2 = 0$, откуда $x = 2$ и $x = -2$.

Построим эскизы этих двух графиков в одной системе координат.

• В I координатной четверти ($x > 0$) ветвь гиперболы идет из бесконечности вниз, а парабола идет от своей вершины $(0, 4)$ вниз, пересекая ось $Ox$ в точке $(2, 0)$. Видно, что графики пересекаются в этой четверти дважды.
• В III координатной четверти ($x < 0$) ветвь гиперболы идет от оси $Ox$ вниз к минус бесконечности, а парабола идет от точки $(-2, 0)$ также вниз. Графики пересекаются в этой четверти один раз.
• Во II и IV четвертях пересечений нет, так как ветви гиперболы в них отсутствуют.

Следовательно, общее количество точек пересечения графиков равно трем. Это означает, что исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: 3

1 Найдите значение выражения:

а) $\frac{3a^2-a}{4}$ при $a=\frac{1}{3};$

б) $\frac{ab-1}{ab+1}$ при $a=-5, b=0,4.$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{3a^2 - a}{4}$ при $a = \frac{1}{3}$, подставим это значение в выражение.

1. Сначала подставим значение $a$ в числитель $3a^2 - a$:

$3 \cdot (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}$

2. Возведем $\frac{1}{3}$ в квадрат:

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

3. Подставим результат обратно в выражение для числителя:

$3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{3}{9} - \frac{1}{3}$

4. Сократим дробь $\frac{3}{9}$ на 3, получим $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$

5. Теперь, когда мы знаем значение числителя, мы можем найти значение всего выражения:

$\frac{0}{4} = 0$

Ответ: 0

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{ab - 1}{ab + 1}$ при $a = -5$ и $b = 0,4$, подставим эти значения в выражение.

1. Сначала вычислим произведение $ab$:

$ab = -5 \cdot 0,4 = -2$

2. Теперь подставим полученное значение $ab = -2$ в исходное выражение:

$\frac{-2 - 1}{-2 + 1}$

3. Вычислим значение числителя:

$-2 - 1 = -3$

4. Вычислим значение знаменателя:

$-2 + 1 = -1$

5. Найдем значение дроби:

$\frac{-3}{-1} = 3$

Ответ: 3

2 Укажите множество значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл:

а) $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2;$

б) $\frac{x - 4}{12x + 3x^2};$

в) $\frac{x^2 - 3}{x^2 + 3}.$

а) Данное выражение $\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ является многочленом. Областью определения любого многочлена является множество всех действительных чисел, так как для любого действительного значения $x$ можно выполнить все указанные операции (умножение, сложение, вычитание).
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Данное выражение $\frac{x-4}{12x + 3x^2}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю:
$12x + 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(4 + x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$3x = 0$ или $4 + x = 0$
$x = 0$ или $x = -4$
Следовательно, при $x=0$ и $x=-4$ знаменатель дроби равен нулю, и выражение не имеет смысла. Для всех остальных значений $x$ выражение имеет смысл.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Данное выражение $\frac{x^2-3}{x^2+3}$ является дробью. Оно имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю. Проверим, при каких значениях $x$ знаменатель $x^2 + 3$ может быть равен нулю.
Выражение $x^2$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Тогда сумма $x^2 + 3$ всегда будет больше или равна 3: $x^2 + 3 \ge 3$.
Поскольку знаменатель никогда не может быть равен нулю, выражение имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.