Страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной

Решите уравнение (532—536).

$y^2(y + 1) - 2y(y + 1) - 3(y + 1) = 0;$

б) $2y^2(2y - 3) + y(2y - 3) - (2y - 3) = 0;$

в) $(3x - 2)(x - 1) = 4(x - 1)^2;$

г) $(6x - 1)(x - 2) = 5(x - 2)^2.$

а) $y^2(y + 1) - 2y(y + 1) - 3(y + 1) = 0$

Данное уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем является выражение $(y + 1)$.

Вынесем $(y + 1)$ за скобки:

$(y + 1)(y^2 - 2y - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два случая:

1) $y + 1 = 0$

$y_1 = -1$

2) $y^2 - 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня.

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$

$y_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_3 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Объединяя все найденные корни, получаем решения $y = -1$ и $y = 3$.

Ответ: -1; 3.

б) $2y^2(2y - 3) + y(2y - 3) - (2y - 3) = 0$

В этом уравнении общий множитель — это $(2y - 3)$. Вынесем его за скобки.

$(2y - 3)(2y^2 + y - 1) = 0$

Приравниваем каждый из множителей к нулю:

1) $2y - 3 = 0$

$2y = 3$

$y_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

2) $2y^2 + y - 1 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$y_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

$y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_3 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Таким образом, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: -1; 0.5; 1.5.

в) $(3x - 2)(x - 1) = 4(x - 1)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$(3x - 2)(x - 1) - 4(x - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1) \cdot ((3x - 2) - 4(x - 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1) \cdot (3x - 2 - 4x + 4) = 0$

$(x - 1)(-x + 2) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

2) $-x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 2.

г) $(6x - 1)(x - 2) = 5(x - 2)^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$(6x - 1)(x - 2) - 5(x - 2)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2) \cdot ((6x - 1) - 5(x - 2)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 2) \cdot (6x - 1 - 5x + 10) = 0$

$(x - 2)(x + 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

2) $x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -9; 2.

533 a) $(2x - 7)^2 = (9 - x)^2;$

Б) $(x - 4)^2 = (3x + 2)^2;$

В) $(x^2 - 8x + 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2;$

Г) $(x^2 - 4x - 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2.$

а) $(2x - 7)^2 = (9 - x)^2$

Данное уравнение имеет вид $A^2 = B^2$. Оно равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим оба случая:

1) Приравняем выражения в скобках:

$2x - 7 = 9 - x$

$2x + x = 9 + 7$

$3x = 16$

$x_1 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

2) Приравняем одно выражение к другому с противоположным знаком:

$2x - 7 = -(9 - x)$

$2x - 7 = -9 + x$

$2x - x = -9 + 7$

$x_2 = -2$

Ответ: $-2; 5\frac{1}{3}$.

б) $(x - 4)^2 = (3x + 2)^2$

Решаем аналогично предыдущему уравнению, рассматривая два случая.

1) $x - 4 = 3x + 2$

$x - 3x = 2 + 4$

$-2x = 6$

$x_1 = -3$

2) $x - 4 = -(3x + 2)$

$x - 4 = -3x - 2$

$x + 3x = 4 - 2$

$4x = 2$

$x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $-3; 0.5$.

в) $(x^2 - 8x + 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2$

Применяем тот же метод.

1) $x^2 - 8x + 10 = x^2 - 2x + 2$

$-8x + 10 = -2x + 2$

$-8x + 2x = 2 - 10$

$-6x = -8$

$x_1 = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

2) $x^2 - 8x + 10 = -(x^2 - 2x + 2)$

$x^2 - 8x + 10 = -x^2 + 2x - 2$

$2x^2 - 10x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Ответ: $1\frac{1}{3}; 2; 3$.

г) $(x^2 - 4x - 10)^2 = (x^2 - 2x + 2)^2$

Используем тот же подход.

1) $x^2 - 4x - 10 = x^2 - 2x + 2$

$-4x - 10 = -2x + 2$

$-4x + 2x = 2 + 10$

$-2x = 12$

$x_1 = -6$

2) $x^2 - 4x - 10 = -(x^2 - 2x + 2)$

$x^2 - 4x - 10 = -x^2 + 2x - 2$

$2x^2 - 6x - 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корни уравнения: $x_2 = 4$ и $x_3 = -1$.

Ответ: $-6; -1; 4$.

534 a) $ (5x - 2)^2 + (5x + 2)^2 = 2(5x - 3)^2; $

б) $ (7x - 3)^2 + (7x + 3)^2 = 2(7x - 4)^2. $

Указание. Преобразуйте уравнение так, чтобы и в левой, и в правой его части стояла разность квадратов.

а) $(5x - 2)^2 + (5x + 2)^2 = 2(5x - 3)^2$

Согласно указанию, преобразуем уравнение так, чтобы в обеих его частях стояла разность квадратов. Для этого представим правую часть в виде суммы двух слагаемых:

$(5x - 2)^2 + (5x + 2)^2 = (5x - 3)^2 + (5x - 3)^2$

Теперь перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую, чтобы получить разность квадратов с обеих сторон:

$(5x - 2)^2 - (5x - 3)^2 = (5x - 3)^2 - (5x + 2)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для левой и правой частей уравнения.

Преобразуем левую часть, где $a = 5x - 2$ и $b = 5x - 3$:

$((5x - 2) - (5x - 3))((5x - 2) + (5x - 3)) = (5x - 2 - 5x + 3)(5x - 2 + 5x - 3) = (1)(10x - 5) = 10x - 5$

Преобразуем правую часть, где $a = 5x - 3$ и $b = 5x + 2$:

$((5x - 3) - (5x + 2))((5x - 3) + (5x + 2)) = (5x - 3 - 5x - 2)(5x - 3 + 5x + 2) = (-5)(10x - 1) = -50x + 5$

Теперь приравняем полученные выражения:

$10x - 5 = -50x + 5$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$10x + 50x = 5 + 5$

$60x = 10$

$x = \frac{10}{60}$

$x = \frac{1}{6}$

Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

б) $(7x - 3)^2 + (7x + 3)^2 = 2(7x - 4)^2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Представим правую часть в виде суммы:

$(7x - 3)^2 + (7x + 3)^2 = (7x - 4)^2 + (7x - 4)^2$

Перегруппируем слагаемые так, чтобы в обеих частях уравнения получить разность квадратов:

$(7x - 3)^2 - (7x - 4)^2 = (7x - 4)^2 - (7x + 3)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Для левой части, где $a = 7x - 3$ и $b = 7x - 4$:

$((7x - 3) - (7x - 4))((7x - 3) + (7x - 4)) = (7x - 3 - 7x + 4)(7x - 3 + 7x - 4) = (1)(14x - 7) = 14x - 7$

Для правой части, где $a = 7x - 4$ и $b = 7x + 3$:

$((7x - 4) - (7x + 3))((7x - 4) + (7x + 3)) = (7x - 4 - 7x - 3)(7x - 4 + 7x + 3) = (-7)(14x - 1) = -98x + 7$

Приравняем полученные выражения:

$14x - 7 = -98x + 7$

Решим это линейное уравнение:

$14x + 98x = 7 + 7$

$112x = 14$

$x = \frac{14}{112}$

Сократим полученную дробь на 14:

$x = \frac{1}{8}$

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

535 a) $(x^2 - 5x)^2 + (x^2 - 25)^2 = 0;$

б) $(x^2 - 4)^2 + (x^2 + 4x)^2 = 0;$

в) $(x^2 - 5x + 6)^2 + (x^2 - 3x + 2)^2 = 0;$

г) $(x^2 - 3x - 4)^2 + (x^2 - x - 2)^2 = 0.$

Указание. Воспользуйтесь тем, что при любом $a$ верно неравенство $a^2 \ge 0$.

Все представленные уравнения имеют вид $A^2 + B^2 = 0$. Согласно указанию, квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $A^2 \ge 0$ и $B^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Следовательно, каждое уравнение равносильно системе, в которой оба выражения под знаком квадрата приравниваются к нулю: $\begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \end{cases}$. Решением исходного уравнения будет общее решение уравнений системы.

а) $(x^2 - 5x)^2 + (x^2 - 25)^2 = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 5x = 0 \\ x^2 - 25 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$. Его корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 25 = 0$. Отсюда $x^2 = 25$. Его корни: $x_3 = 5$, $x_4 = -5$.

Общим решением системы является значение $x$, которое является корнем обоих уравнений. Сравнивая множества корней $\{0, 5\}$ и $\{-5, 5\}$, находим общий корень $x = 5$.

Ответ: $5$.

б) $(x^2 - 4)^2 + (x^2 + 4x)^2 = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 + 4x = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 4 = 0$. Отсюда $x^2 = 4$. Его корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Решим второе уравнение: $x^2 + 4x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 4) = 0$. Его корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -4$.

Сравним множества решений: $\{2, -2\}$ и $\{0, -4\}$. Общих корней у уравнений нет, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $(x^2 - 5x + 6)^2 + (x^2 - 3x + 2)^2 = 0$

Уравнение сводится к решению системы:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \end{cases}$

Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Решим второе квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни этого уравнения: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.

Сравнивая множества корней $\{2, 3\}$ и $\{1, 2\}$, находим единственный общий корень $x = 2$.

Ответ: $2$.

г) $(x^2 - 3x - 4)^2 + (x^2 - x - 2)^2 = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 = 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \end{cases}$

Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$, то есть $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Решим второе квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. Корни: $x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$, то есть $x_3 = -1$ и $x_4 = 2$.

Сравнивая множества корней $\{-1, 4\}$ и $\{-1, 2\}$, находим единственный общий корень $x = -1$.

Ответ: $-1$.

536 1)

a) $x^3 - 2x = 0;$

б) $5x^3 + 5x = 0;$

в) $x^4 + x = 0;$

г) $7x^4 + 14x^2 = 0;$

д) $16x - 2x^3 = 0;$

е) $x^4 - 8x = 0.$

2) Составьте уравнение третьей степени и уравнение четвёртой степени, каждое из которых имеет два корня: $0$ и $-2$.

1) a)
Дано уравнение: $x^3 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$
Корни уравнения: $0, -\sqrt{2}, \sqrt{2}$.
Ответ: $0; -\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

1) б)
Дано уравнение: $5x^3 + 5x = 0$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x^2 + 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $5x = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Единственный корень уравнения: $0$.
Ответ: $0$.

1) в)
Дано уравнение: $x^4 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 + 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x_2 = -1$
Корни уравнения: $0, -1$.
Ответ: $0; -1$.

1) г)
Дано уравнение: $7x^4 + 14x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $7x^2$ за скобки:
$7x^2(x^2 + 2) = 0$
Получаем два случая:
1) $7x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
2) $x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный корень уравнения: $0$.
Ответ: $0$.

1) д)
Дано уравнение: $16x - 2x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(8 - x^2) = 0$
Получаем два случая:
1) $2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
2) $8 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$
Корни уравнения: $0, -2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}$.
Ответ: $0; -2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}$.

1) е)
Дано уравнение: $x^4 - 8x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^3 - 8) = 0$
Получаем два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x_2 = 2$
Корни уравнения: $0, 2$.
Ответ: $0; 2$.

2)
Если уравнение имеет корни $0$ и $-2$, то в разложении его левой части на множители должны присутствовать множители $(x-0)=x$ и $(x-(-2))=x+2$.

Уравнение третьей степени:
Чтобы получить многочлен третьей степени, имеющий только эти два корня, один из корней должен быть кратным. Например, пусть корень $x=0$ имеет кратность 2. Тогда уравнение примет вид:
$x \cdot x \cdot (x+2) = 0$
$x^2(x+2) = 0$
$x^3 + 2x^2 = 0$
Это уравнение третьей степени с корнями $0$ и $-2$.

Уравнение четвёртой степени:
Аналогично, для получения многочлена четвёртой степени, можно увеличить кратность корней. Например, можно взять корень $x=0$ кратностью 3.
$x \cdot x \cdot x \cdot (x+2) = 0$
$x^3(x+2) = 0$
$x^4 + 2x^3 = 0$
Это уравнение четвёртой степени с корнями $0$ и $-2$.

Ответ: уравнение третьей степени, например: $x^3 + 2x^2 = 0$; уравнение четвёртой степени, например: $x^4 + 2x^3 = 0$.

537 Решите уравнение двумя способами:

а) $x^6 - 1 = 0$;

б) $x^6 - 64 = 0$.

Указание. 1-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность квадратов;

2-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность кубов.

a)

Решим уравнение $x^6 - 1 = 0$.

1-й способ: представим левую часть уравнения как разность квадратов.

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^3 - 1 = 0$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

Отсюда либо $x - 1 = 0$, что дает корень $x_1 = 1$, либо $x^2 + x + 1 = 0$. Для квадратного уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) $x^3 + 1 = 0$. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$

Отсюда либо $x + 1 = 0$, что дает корень $x_2 = -1$, либо $x^2 - x + 1 = 0$. Для этого уравнения дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2-й способ: представим левую часть уравнения как разность кубов.

$x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1^3 = (x^2 - 1)((x^2)^2 + x^2 \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) = 0$

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^2 - 1 = 0$, что равносильно $(x-1)(x+1) = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получаем уравнение $t^2 + t + 1 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, поэтому действительных корней для $t$ (и, следовательно, для $x$) нет.

Оба способа приводят к одинаковым действительным корням.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б)

Решим уравнение $x^6 - 64 = 0$.

1-й способ: представим левую часть уравнения как разность квадратов.

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8) = 0$

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^3 - 8 = 0$, или $x^3 - 2^3 = 0$. По формуле разности кубов: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$. Отсюда либо $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$, либо $x^2 + 2x + 4 = 0$. Дискриминант второго уравнения $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, действительных корней нет.

2) $x^3 + 8 = 0$, или $x^3 + 2^3 = 0$. По формуле суммы кубов: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0$. Отсюда либо $x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -2$, либо $x^2 - 2x + 4 = 0$. Дискриминант второго уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, действительных корней нет.

2-й способ: представим левую часть уравнения как разность кубов.

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)((x^2)^2 + x^2 \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) = 0$

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2) $x^4 + 4x^2 + 16 = 0$. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Уравнение примет вид $t^2 + 4t + 16 = 0$. Его дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, действительных корней нет. Также можно заметить, что для любого действительного $x$ выражение $x^4 + 4x^2 + 16$ всегда положительно ($ \ge 16$), поэтому оно не может равняться нулю.

Оба способа приводят к одинаковым действительным корням.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

Решите уравнение (538–542).

538 a) $ \frac{6}{x^2 - 2x} - \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x} $

б) $ \frac{27}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 - 3x} $

а) $ \frac{6}{x^2 - 2x} - \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$ x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.

$ x^2 + 2x \neq 0 \implies x(x+2) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

$ x \neq 0 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -2; x \neq 0; x \neq 2 $.

2. Разложим знаменатели на множители и перепишем уравнение:

$ \frac{6}{x(x - 2)} - \frac{12}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} $

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $ x(x-2)(x+2) $. Для этого умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая ОДЗ:

$ 6(x+2) - 12(x-2) = 1 \cdot (x-2)(x+2) $

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 6x + 12 - 12x + 24 = x^2 - 4 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -6x + 36 = x^2 - 4 $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$ x^2 + 6x - 36 - 4 = 0 $

$ x^2 + 6x - 40 = 0 $

5. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 = 14^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 14}{2} $

$ x_1 = \frac{-6 - 14}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $

$ x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Оба корня ( -10 и 4 ) не равны -2, 0 или 2, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -10; 4.

б) $ \frac{27}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 - 3x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$ x^2 + 3x \neq 0 \implies x(x+3) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq -3 $.

$ x \neq 0 $.

$ x^2 - 3x \neq 0 \implies x(x-3) \neq 0 \implies x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq -3; x \neq 0; x \neq 3 $.

2. Перенесем все члены в левую часть и разложим знаменатели на множители:

$ \frac{27}{x(x + 3)} - \frac{2}{x} - \frac{3}{x(x - 3)} = 0 $

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $ x(x+3)(x-3) $. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая ОДЗ:

$ 27(x-3) - 2(x+3)(x-3) - 3(x+3) = 0 $

4. Раскроем скобки и решим полученное уравнение. Используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ 27(x-3) - 2(x^2 - 9) - 3(x+3) = 0 $

$ 27x - 81 - 2x^2 + 18 - 3x - 9 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -2x^2 + (27x - 3x) + (-81 + 18 - 9) = 0 $

$ -2x^2 + 24x - 72 = 0 $

5. Разделим все уравнение на -2 для упрощения:

$ x^2 - 12x + 36 = 0 $

Полученное уравнение является полным квадратом:

$ (x - 6)^2 = 0 $

Отсюда находим корень:

$ x - 6 = 0 \implies x = 6 $

6. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Корень $ x=6 $ не равен -3, 0 или 3, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Ответ: 6.

539 а) $ \frac{1}{2 - x} - 1 = \frac{1}{x - 2} - \frac{6 - x}{3x^2 - 12} $

б) $ \frac{1}{x - 3} - \frac{x + 8}{2x^2 - 18} = \frac{1}{3 - x} - 1 $

а)
Решим уравнение: $\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.
Теперь преобразуем уравнение. Используем свойство $\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$ и разложим знаменатель $3x^2 - 12$ на множители: $3(x-2)(x+2)$.
$-\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$
$\frac{2}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$:
$\frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot 3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$
$\frac{6(x+2) + 3(x^2-4) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель не равен, что мы учли в ОДЗ).
$6(x+2) + 3(x^2-4) - (6-x) = 0$
$6x + 12 + 3x^2 - 12 - 6 + x = 0$
Приводим подобные члены:
$3x^2 + 7x - 6 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня $-3$ и $\frac{2}{3}$ входят в ОДЗ.
Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

б)
Решим уравнение: $\frac{1}{x-3} - \frac{x+8}{2x^2 - 18} = \frac{1}{3-x} - 1$.
Найдем ОДЗ:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$2x^2 - 18 \neq 0 \implies 2(x^2 - 9) \neq 0 \implies 2(x-3)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$
ОДЗ: $x \neq \pm 3$.
Преобразуем уравнение, используя $\frac{1}{3-x} = -\frac{1}{x-3}$ и $2x^2 - 18 = 2(x-3)(x+3)$.
$\frac{1}{x-3} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x-3} - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-3} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + 1 = 0$
$\frac{2}{x-3} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + 1 = 0$
Приведем к общему знаменателю $2(x-3)(x+3)$:
$\frac{2 \cdot 2(x+3)}{2(x-3)(x+3)} - \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + \frac{1 \cdot 2(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+3)} = 0$
$\frac{4(x+3) - (x+8) + 2(x^2-9)}{2(x-3)(x+3)} = 0$
Приравниваем числитель к нулю:
$4(x+3) - (x+8) + 2(x^2-9) = 0$
$4x + 12 - x - 8 + 2x^2 - 18 = 0$
Приводим подобные члены:
$2x^2 + 3x - 14 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3,5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Оба корня $-3,5$ и $2$ входят в ОДЗ.
Ответ: $-3,5; 2$.