Номер 534, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 534, страница 208.

534 a) $ (5x - 2)^2 + (5x + 2)^2 = 2(5x - 3)^2; $

б) $ (7x - 3)^2 + (7x + 3)^2 = 2(7x - 4)^2. $

Указание. Преобразуйте уравнение так, чтобы и в левой, и в правой его части стояла разность квадратов.

а) $(5x - 2)^2 + (5x + 2)^2 = 2(5x - 3)^2$

Согласно указанию, преобразуем уравнение так, чтобы в обеих его частях стояла разность квадратов. Для этого представим правую часть в виде суммы двух слагаемых:

$(5x - 2)^2 + (5x + 2)^2 = (5x - 3)^2 + (5x - 3)^2$

Теперь перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую, чтобы получить разность квадратов с обеих сторон:

$(5x - 2)^2 - (5x - 3)^2 = (5x - 3)^2 - (5x + 2)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для левой и правой частей уравнения.

Преобразуем левую часть, где $a = 5x - 2$ и $b = 5x - 3$:

$((5x - 2) - (5x - 3))((5x - 2) + (5x - 3)) = (5x - 2 - 5x + 3)(5x - 2 + 5x - 3) = (1)(10x - 5) = 10x - 5$

Преобразуем правую часть, где $a = 5x - 3$ и $b = 5x + 2$:

$((5x - 3) - (5x + 2))((5x - 3) + (5x + 2)) = (5x - 3 - 5x - 2)(5x - 3 + 5x + 2) = (-5)(10x - 1) = -50x + 5$

Теперь приравняем полученные выражения:

$10x - 5 = -50x + 5$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$10x + 50x = 5 + 5$

$60x = 10$

$x = \frac{10}{60}$

$x = \frac{1}{6}$

Ответ: $x = \frac{1}{6}$.

б) $(7x - 3)^2 + (7x + 3)^2 = 2(7x - 4)^2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Представим правую часть в виде суммы:

$(7x - 3)^2 + (7x + 3)^2 = (7x - 4)^2 + (7x - 4)^2$

Перегруппируем слагаемые так, чтобы в обеих частях уравнения получить разность квадратов:

$(7x - 3)^2 - (7x - 4)^2 = (7x - 4)^2 - (7x + 3)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Для левой части, где $a = 7x - 3$ и $b = 7x - 4$:

$((7x - 3) - (7x - 4))((7x - 3) + (7x - 4)) = (7x - 3 - 7x + 4)(7x - 3 + 7x - 4) = (1)(14x - 7) = 14x - 7$

Для правой части, где $a = 7x - 4$ и $b = 7x + 3$:

$((7x - 4) - (7x + 3))((7x - 4) + (7x + 3)) = (7x - 4 - 7x - 3)(7x - 4 + 7x + 3) = (-7)(14x - 1) = -98x + 7$

Приравняем полученные выражения:

$14x - 7 = -98x + 7$

Решим это линейное уравнение:

$14x + 98x = 7 + 7$

$112x = 14$

$x = \frac{14}{112}$

Сократим полученную дробь на 14:

$x = \frac{1}{8}$

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.