Номер 531, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 531, страница 207.

531 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{x^2 - 1}{1 - x}, & \text{если } x \le 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x + 2}, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{x^2-1}{1-x}, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Для построения графика упростим каждый из участков функции.

1. Участок при $x > 0$:
$y = \frac{x^2-1}{x-1}$
Используем формулу разности квадратов для числителя: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$y = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$
Область допустимых значений для этого выражения: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Так как точка $x=1$ входит в рассматриваемый промежуток $x > 0$, на графике в этой точке будет разрыв (выколотая точка). При $x \neq 1$ мы можем сократить дробь: $y = x+1$.
Таким образом, для $x > 0$ график представляет собой луч прямой $y = x+1$ с началом в точке, соответствующей $x=0$, и выколотой точкой при $x=1$.
Координаты выколотой точки: $y(1) = 1+1=2$. Точка $(1, 2)$ не принадлежит графику. Так как условие строгое ($x>0$), начальная точка луча при $x=0$ также будет выколотой: $y(0) = 0+1=1$. Точка $(0, 1)$ выколота.

2. Участок при $x \le 0$:
$y = \frac{x^2-1}{1-x}$
Преобразуем выражение: $y = \frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}$.
Область допустимых значений: $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Это условие не затрагивает промежуток $x \le 0$. Сокращаем дробь: $y = -(x+1) = -x-1$.
Для $x \le 0$ график — это луч прямой $y = -x-1$. Так как условие нестрогое ($x \le 0$), начальная точка луча при $x=0$ принадлежит графику: $y(0) = -0-1=-1$. Точка $(0, -1)$ закрашена.

Итог:
График состоит из двух лучей:

• Луч $y = -x-1$, начинающийся из закрашенной точки $(0, -1)$ и идущий влево-вверх.
• Луч $y = x+1$, начинающийся из выколотой точки $(0, 1)$, идущий вправо-вверх и имеющий выколотую точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча прямой $y=-x-1$ с началом в точке $(0, -1)$ (точка включена) для $x \le 0$, и луча прямой $y=x+1$ для $x > 0$ с выколотыми точками $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

---

б)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{x^2-4}{x+2}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика упростим каждый из участков функции.

1. Участок при $x \ge 0$:
$y = \frac{x^2-4}{x-2}$
Используем формулу разности квадратов для числителя: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$y = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
Область допустимых значений: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Так как точка $x=2$ входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$, на графике в этой точке будет выколотая точка.
При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь: $y = x+2$.
Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой луч прямой $y = x+2$ с выколотой точкой при $x=2$.
Координаты выколотой точки: $y(2) = 2+2=4$. Точка $(2, 4)$ не принадлежит графику.
Так как условие нестрогое ($x \ge 0$), начальная точка луча при $x=0$ принадлежит графику: $y(0)=0+2=2$. Точка $(0, 2)$ закрашена.

2. Участок при $x < 0$:
$y = \frac{x^2-4}{x+2}$
Преобразуем выражение: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$.
Область допустимых значений: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Так как точка $x=-2$ входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$, на графике в этой точке будет выколотая точка.
При $x \neq -2$ мы можем сократить дробь: $y = x-2$.
Таким образом, для $x < 0$ график представляет собой луч прямой $y=x-2$ с выколотой точкой при $x=-2$.
Координаты выколотой точки: $y(-2) = -2-2=-4$. Точка $(-2, -4)$ не принадлежит графику.
Так как условие строгое ($x<0$), начальная точка луча при $x=0$ также будет выколотой: $y(0) = 0-2=-2$. Точка $(0, -2)$ выколота.

Итог:
График состоит из двух лучей:

• Луч $y = x+2$, начинающийся из закрашенной точки $(0, 2)$, идущий вправо-вверх и имеющий выколотую точку $(2, 4)$.
• Луч $y = x-2$, начинающийся из выколотой точки $(0, -2)$, идущий влево-вниз и имеющий выколотую точку $(-2, -4)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча прямой $y=x+2$ с началом в точке $(0, 2)$ (точка включена) для $x \ge 0$, на котором выколота точка $(2, 4)$, и луча прямой $y=x-2$ для $x < 0$ с выколотой начальной точкой $(0, -2)$ и выколотой точкой $(-2, -4)$.