Номер 525, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 525, страница 207.

525 а) $\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a}$

б) $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2}$

в) $\frac{(3x - 3y)^2(2x - 2y)^2}{(6y - 6x)^3}$

а)

Упростим данное выражение $ \frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} $.
Сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $ (2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 2^2(a - b)^2 = 4(a - b)^2 $.
В знаменателе: $ 8b - 8a = 8(b - a) $.
Заметим, что $ b - a = -(a - b) $. Тогда знаменатель равен $ -8(a - b) $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)} $
Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты $ \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} $.
Сократим выражение с переменными $ \frac{(a - b)^2}{a - b} = a - b $.
В результате получаем: $ -\frac{1}{2}(a - b) = \frac{-(a - b)}{2} = \frac{b - a}{2} $.
Ответ: $ \frac{b - a}{2} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 4 и применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:
$ 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2) = 4(m - n)(m + n) $.
В знаменателе сначала вынесем общий множитель 4 из скобок:
$ (4n - 4m)^2 = (4(n - m))^2 = 4^2(n - m)^2 = 16(n - m)^2 $.
Так как $ (n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (-1)^2(m-n)^2 = (m - n)^2 $, то знаменатель равен $ 16(m - n)^2 $.
Подставим в исходную дробь:
$ \frac{4(m - n)(m + n)}{16(m - n)^2} $
Сократим дробь: сократим коэффициенты $ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $ и степени $ \frac{m - n}{(m - n)^2} = \frac{1}{m - n} $.
Получаем: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{m + n}{m - n} = \frac{m + n}{4(m - n)} $.
Ответ: $ \frac{m + n}{4(m - n)} $.

в)

Упростим выражение $ \frac{(3x - 3y)^2(2x - 2y)^2}{(6y - 6x)^3} $.
Вынесем общие множители в каждом из выражений.
В числителе: $ (3x - 3y)^2 = (3(x - y))^2 = 9(x - y)^2 $.
$ (2x - 2y)^2 = (2(x - y))^2 = 4(x - y)^2 $.
Произведение в числителе: $ 9(x - y)^2 \cdot 4(x - y)^2 = 36(x - y)^4 $.
В знаменателе:
$ (6y - 6x)^3 = (6(y - x))^3 = 6^3(y - x)^3 = 216(y - x)^3 $.
Поскольку $ y - x = -(x - y) $, то $ (y - x)^3 = (-(x - y))^3 = -1^3(x - y)^3 = -(x - y)^3 $.
Следовательно, знаменатель равен $ 216 \cdot (-(x - y)^3) = -216(x - y)^3 $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{36(x - y)^4}{-216(x - y)^3} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{36}{-216} = -\frac{1}{6} $.
Сократим степени: $ \frac{(x - y)^4}{(x - y)^3} = x - y $.
В результате получаем: $ -\frac{1}{6}(x - y) = \frac{-(x - y)}{6} = \frac{y - x}{6} $.
Ответ: $ \frac{y - x}{6} $.