Номер 521, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 521, страница 206.

521 Найдите наибольшее значение выражения $ \frac{1}{a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10} $.

При каких значениях $a$ и $b$ оно достигается?

Чтобы найти наибольшее значение дроби $E = \frac{1}{a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10}$, необходимо найти наименьшее значение её знаменателя, поскольку числитель — положительная константа.

Рассмотрим знаменатель $D(a, b) = a^2 + b^2 - 2a + 4b + 10$. Для нахождения его наименьшего значения преобразуем выражение, выделив полные квадраты относительно переменных $a$ и $b$.

Сгруппируем слагаемые: $$ D(a, b) = (a^2 - 2a) + (b^2 + 4b) + 10 $$ Дополним каждую группу до полного квадрата, прибавляя и вычитая необходимые константы: $$ D(a, b) = (a^2 - 2a + 1) - 1 + (b^2 + 4b + 4) - 4 + 10 $$ Теперь свернем квадраты: $$ D(a, b) = (a - 1)^2 + (b + 2)^2 - 5 + 10 $$ $$ D(a, b) = (a - 1)^2 + (b + 2)^2 + 5 $$

Знаменатель $D(a, b)$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (квадраты) и положительного числа 5. Выражения $(a - 1)^2$ и $(b + 2)^2$ всегда больше или равны нулю ($ \ge 0 $). Следовательно, наименьшее значение знаменателя достигается, когда оба квадрата равны нулю. $$ D_{min} = 0 + 0 + 5 = 5 $$

Найдите наибольшее значение выражения

Наибольшее значение исходной дроби достигается при наименьшем значении её знаменателя. $$ E_{max} = \frac{1}{D_{min}} = \frac{1}{5} $$ Ответ: $\frac{1}{5}$.

При каких значениях a и b оно достигается?

Наименьшее значение знаменателя, а значит и наибольшее значение всей дроби, достигается при условиях, что выражения в скобках равны нулю: $$ a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1 $$ $$ b + 2 = 0 \Rightarrow b = -2 $$ Ответ: при $a = 1$ и $b = -2$.