Номер 523, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 523, страница 206.

523 Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:

a) $(2 - x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) - 4(2 + x)(x - 2)$ равно 32;

б) $(x + z)(x - z) - y(2x - y) - (x - y + z)(x - y - z)$ равно 0;

в) $(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) + (a - b - c)(b - a - c)(c - b - a)$ равно 0;

г) $(y^2 - 1)(y^2 + y + 1)(y^2 - y + 1) - y^6$ равно -1.

а) Чтобы доказать тождество, упростим левую часть выражения: $(2 - x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) - 4(2 + x)(x - 2) = 32$.
Вынесем общий множитель $(4 + x^2)$ за скобки в первых двух слагаемых:
$(4 + x^2)((2 - x) + (2 + x)) - 4(x + 2)(x - 2)$.
Упростим выражение во вторых скобках: $2 - x + 2 + x = 4$.
В последнем слагаемом применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Получим выражение:
$4(4 + x^2) - 4(x^2 - 4)$.
Раскроем скобки:
$16 + 4x^2 - 4x^2 + 16$.
Приведем подобные слагаемые:
$16 + 16 + (4x^2 - 4x^2) = 32$.
Таким образом, значение выражения равно 32 при любых значениях $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: 32

б) Упростим левую часть выражения: $(x + z)(x - z) - y(2x - y) - (x - y + z)(x - y - z) = 0$.
Применим формулу разности квадратов к первому слагаемому: $(x + z)(x - z) = x^2 - z^2$.
Раскроем скобки во втором слагаемом: $-y(2x - y) = -2xy + y^2$.
В третьем слагаемом сгруппируем члены: $((x - y) + z)((x - y) - z)$ и применим формулу разности квадратов, где $a = x-y$ и $b = z$: $(x - y)^2 - z^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - z^2$.
Подставим все упрощенные части в исходное выражение:
$(x^2 - z^2) + (-2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2 - z^2)$.
Раскроем последние скобки:
$x^2 - z^2 - 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + z^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-z^2 + z^2) + (y^2 - y^2) + (-2xy + 2xy) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
Значение выражения равно 0 при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.
Ответ: 0

в) Рассмотрим выражение: $(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) + (a - b - c)(b - a - c)(c - b - a) = 0$.
Преобразуем второе слагаемое, вынеся из каждой скобки множитель $-1$:
$(a - b - c) = -(-a + b + c)$;
$(b - a - c) = -(a - b + c)$;
$(c - b - a) = -(a + b - c)$.
Произведение этих трех выражений будет равно:
$(-(-a + b + c)) \cdot (-(a - b + c)) \cdot (-(a + b - c)) = (-1)^3 \cdot (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) = -(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное тождество:
$(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) - (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$.
Это выражение имеет вид $X - X$, где $X = (-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$.
$X - X = 0$.
Следовательно, значение выражения равно 0 при любых значениях переменных, что и требовалось доказать.
Ответ: 0

г) Упростим выражение: $(y^2 - 1)(y^2 + y + 1)(y^2 - y + 1) - y^6 = -1$.
Сгруппируем второй и третий множители. Заметим, что они представляют собой формулу разности квадратов, если переписать их как $[(y^2 + 1) + y][(y^2 + 1) - y]$.
Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = y^2+1$ и $b = y$:
$(y^2 + 1)^2 - y^2 = (y^4 + 2y^2 + 1) - y^2 = y^4 + y^2 + 1$.
Теперь выражение приняло вид:
$(y^2 - 1)(y^4 + y^2 + 1) - y^6$.
Первая часть выражения является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a=y^2$ и $b=1$.
$(y^2 - 1)((y^2)^2 + y^2 \cdot 1 + 1^2) = (y^2)^3 - 1^3 = y^6 - 1$.
Подставим это в наше выражение:
$(y^6 - 1) - y^6$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^6 - 1 - y^6 = -1$.
Значение выражения равно -1 при любых значениях переменной, что и требовалось доказать.
Ответ: -1