Номер 529, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 529, страница 207.

529 a) $\frac{x^2 - (y+z)^2}{(x-z)^2 - y^2} + \frac{(x-y)^2 - z^2}{x^2 - (y-z)^2} + \frac{y^2 - (z+x)^2}{(x+y)^2 - z^2} = 1;$

б) $\frac{ac - bc - c^2}{(a-c)^2 - b^2} - \frac{ab + bc - b^2}{a^2 - (b-c)^2} - \frac{ac + ab + a^2}{(a+b)^2 - c^2} = -1.$

Указание. Сначала сократите каждую дробь.

а)

Докажем тождество, последовательно упрощая каждую дробь в его левой части. Основной инструмент, который мы будем использовать — формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1. Преобразуем первую дробь:

Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю:

Числитель: $x^2 - (y + z)^2 = (x - (y + z))(x + (y + z)) = (x - y - z)(x + y + z)$.

Знаменатель: $(x - z)^2 - y^2 = ((x - z) - y)((x - z) + y) = (x - y - z)(x + y - z)$.

Сократим дробь на общий множитель $(x - y - z)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{x^2 - (y + z)^2}{(x - z)^2 - y^2} = \frac{(x - y - z)(x + y + z)}{(x - y - z)(x + y - z)} = \frac{x + y + z}{x + y - z}$

2. Преобразуем вторую дробь:

Аналогично применим формулу разности квадратов:

Числитель: $(x - y)^2 - z^2 = ((x - y) - z)((x - y) + z) = (x - y - z)(x - y + z)$.

Знаменатель: $x^2 - (y - z)^2 = (x - (y - z))(x + (y - z)) = (x - y + z)(x + y - z)$.

Сократим дробь на общий множитель $(x - y + z)$:

$\frac{(x - y)^2 - z^2}{x^2 - (y - z)^2} = \frac{(x - y - z)(x - y + z)}{(x - y + z)(x + y - z)} = \frac{x - y - z}{x + y - z}$

3. Преобразуем третью дробь:

И снова применим ту же формулу:

Числитель: $y^2 - (z + x)^2 = (y - (z + x))(y + (z + x)) = (y - z - x)(y + z + x) = -(x - y + z)(x + y + z)$.

Знаменатель: $(x + y)^2 - z^2 = ((x + y) - z)((x + y) + z) = (x + y - z)(x + y + z)$.

Сократим дробь на общий множитель $(x + y + z)$:

$\frac{y^2 - (z + x)^2}{(x + y)^2 - z^2} = \frac{-(x - y + z)(x + y + z)}{(x + y - z)(x + y + z)} = \frac{-(x - y + z)}{x + y - z} = \frac{-x + y - z}{x + y - z}$

4. Сложим полученные дроби:

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть исходного уравнения. Все дроби имеют общий знаменатель $(x + y - z)$.

$\frac{x + y + z}{x + y - z} + \frac{x - y - z}{x + y - z} + \frac{-x + y - z}{x + y - z} = \frac{(x + y + z) + (x - y - z) + (-x + y - z)}{x + y - z}$

Сложим выражения в числителе:

$(x + x - x) + (y - y + y) + (z - z - z) = x + y - z$

В итоге получаем:

$\frac{x + y - z}{x + y - z} = 1$

Таким образом, левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

---

б)

Докажем тождество, упростив каждую дробь в левой части. Для этого в числителях вынесем общий множитель за скобки, а в знаменателях воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1. Преобразуем первую дробь:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Числитель: $ac - bc - c^2 = c(a - b - c)$.

Знаменатель: $(a - c)^2 - b^2 = ((a - c) - b)((a - c) + b) = (a - b - c)(a + b - c)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - b - c)$:

$\frac{ac - bc - c^2}{(a - c)^2 - b^2} = \frac{c(a - b - c)}{(a - b - c)(a + b - c)} = \frac{c}{a + b - c}$

2. Преобразуем вторую дробь:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Числитель: $ab + bc - b^2 = b(a + c - b) = b(a - b + c)$.

Знаменатель: $a^2 - (b - c)^2 = (a - (b - c))(a + (b - c)) = (a - b + c)(a + b - c)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - b + c)$:

$\frac{ab + bc - b^2}{a^2 - (b - c)^2} = \frac{b(a - b + c)}{(a - b + c)(a + b - c)} = \frac{b}{a + b - c}$

3. Преобразуем третью дробь:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Числитель: $ac + ab + a^2 = a(c + b + a) = a(a + b + c)$.

Знаменатель: $(a + b)^2 - c^2 = ((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a + b + c)$:

$\frac{ac + ab + a^2}{(a + b)^2 - c^2} = \frac{a(a + b + c)}{(a + b - c)(a + b + c)} = \frac{a}{a + b - c}$

4. Выполним вычитание:

Подставим упрощенные дроби в левую часть исходного уравнения. Все они имеют общий знаменатель $(a + b - c)$.

$\frac{c}{a + b - c} - \frac{b}{a + b - c} - \frac{a}{a + b - c} = \frac{c - b - a}{a + b - c}$

Вынесем в числителе минус за скобку:

$\frac{-( -c + b + a)}{a + b - c} = \frac{-(a + b - c)}{a + b - c} = -1$

Таким образом, левая часть тождества равна -1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.