Страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сократите дробь (524–526).

524 a) $\frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-a(a-3)}$

б) $\frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a)^2}$

в) $\frac{(x^3-y^3)(x-1)}{y^2-x^2}$

а)

Дана дробь $\frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-a(a-3)}$.
Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель уже представлен в виде произведения множителей. В знаменателе вынесем общий множитель $(a-3)$ за скобки:
$2(a-3)-a(a-3) = (a-3)(2-a)$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(3-a)(a-2)}{(a-3)(2-a)}$.
Заметим, что множители в числителе и знаменателе отличаются только знаком. Преобразуем множители в числителе:
$3-a = -(a-3)$
$a-2 = -(2-a)$
Подставим преобразованные множители в числитель дроби:
$\frac{(-(a-3)) \cdot (-(2-a))}{(a-3)(2-a)} = \frac{(a-3)(2-a)}{(a-3)(2-a)}$.
Теперь мы можем сократить одинаковые множители $(a-3)$ и $(2-a)$ (при условии, что $a \neq 3$ и $a \neq 2$).
В результате сокращения получаем 1.
Ответ: 1

б)

Дана дробь $\frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a)^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Числитель примет вид: $(a-b)(a+b)(a-c)$.
Знаменатель $(b-a)^2$ можно преобразовать, используя свойство квадрата числа: $(x)^2 = (-x)^2$.
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(a-b)^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$ (при условии, что $a \neq b$):
$\frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(a-b)(a-b)} = \frac{(a+b)(a-c)}{a-b}$.
Ответ: $\frac{(a+b)(a-c)}{a-b}$

в)

Дана дробь $\frac{(x^3-y^3)(x-1)}{y^2-x^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе используем формулу разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Числитель примет вид: $(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-1)$.
В знаменателе используем формулу разности квадратов: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y-x)(y+x)}$.
Заметим, что $x-y = -(y-x)$. Заменим $(x-y)$ в числителе:
$\frac{-(y-x)(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y-x)(y+x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(y-x)$ (при условии, что $y \neq x$):
$\frac{-(x^2+xy+y^2)(x-1)}{y+x}$.
Выражение можно оставить в таком виде или внести знак минуса в скобку $(x-1)$, получив $(1-x)$: $\frac{(x^2+xy+y^2)(1-x)}{x+y}$. Оба варианта верны.
Ответ: $\frac{-(x^2+xy+y^2)(x-1)}{x+y}$

525 а) $\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a}$

б) $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2}$

в) $\frac{(3x - 3y)^2(2x - 2y)^2}{(6y - 6x)^3}$

а)

Упростим данное выражение $ \frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} $.
Сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $ (2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 2^2(a - b)^2 = 4(a - b)^2 $.
В знаменателе: $ 8b - 8a = 8(b - a) $.
Заметим, что $ b - a = -(a - b) $. Тогда знаменатель равен $ -8(a - b) $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)} $
Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты $ \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} $.
Сократим выражение с переменными $ \frac{(a - b)^2}{a - b} = a - b $.
В результате получаем: $ -\frac{1}{2}(a - b) = \frac{-(a - b)}{2} = \frac{b - a}{2} $.
Ответ: $ \frac{b - a}{2} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 4 и применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:
$ 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2) = 4(m - n)(m + n) $.
В знаменателе сначала вынесем общий множитель 4 из скобок:
$ (4n - 4m)^2 = (4(n - m))^2 = 4^2(n - m)^2 = 16(n - m)^2 $.
Так как $ (n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (-1)^2(m-n)^2 = (m - n)^2 $, то знаменатель равен $ 16(m - n)^2 $.
Подставим в исходную дробь:
$ \frac{4(m - n)(m + n)}{16(m - n)^2} $
Сократим дробь: сократим коэффициенты $ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $ и степени $ \frac{m - n}{(m - n)^2} = \frac{1}{m - n} $.
Получаем: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{m + n}{m - n} = \frac{m + n}{4(m - n)} $.
Ответ: $ \frac{m + n}{4(m - n)} $.

в)

Упростим выражение $ \frac{(3x - 3y)^2(2x - 2y)^2}{(6y - 6x)^3} $.
Вынесем общие множители в каждом из выражений.
В числителе: $ (3x - 3y)^2 = (3(x - y))^2 = 9(x - y)^2 $.
$ (2x - 2y)^2 = (2(x - y))^2 = 4(x - y)^2 $.
Произведение в числителе: $ 9(x - y)^2 \cdot 4(x - y)^2 = 36(x - y)^4 $.
В знаменателе:
$ (6y - 6x)^3 = (6(y - x))^3 = 6^3(y - x)^3 = 216(y - x)^3 $.
Поскольку $ y - x = -(x - y) $, то $ (y - x)^3 = (-(x - y))^3 = -1^3(x - y)^3 = -(x - y)^3 $.
Следовательно, знаменатель равен $ 216 \cdot (-(x - y)^3) = -216(x - y)^3 $.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$ \frac{36(x - y)^4}{-216(x - y)^3} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{36}{-216} = -\frac{1}{6} $.
Сократим степени: $ \frac{(x - y)^4}{(x - y)^3} = x - y $.
В результате получаем: $ -\frac{1}{6}(x - y) = \frac{-(x - y)}{6} = \frac{y - x}{6} $.
Ответ: $ \frac{y - x}{6} $.

526 a) $ \frac{x^4 - x^2 - 2x - 1}{x^4 - 3x^2 + 1} $

б) $ \frac{x^4 - y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} $

а) Чтобы упростить данное выражение, разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Сначала рассмотрим числитель: $x^4 - x^2 - 2x - 1$. Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $x^4 - (x^2 + 2x + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Тогда числитель принимает вид $x^4 - (x+1)^2$. Это выражение является разностью квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2$ и $b = x+1$. $x^4 - (x+1)^2 = (x^2)^2 - (x+1)^2 = (x^2 - (x+1))(x^2 + (x+1)) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Теперь рассмотрим знаменатель: $x^4 - 3x^2 + 1$. Преобразуем его, выделив полный квадрат: $x^4 - 3x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - x^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2$. Тогда знаменатель принимает вид $(x^2-1)^2 - x^2$. Это также разность квадратов, где $a = x^2 - 1$ и $b = x$. $(x^2-1)^2 - x^2 = ((x^2-1) - x)((x^2-1) + x) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)$.

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{x^4 - x^2 - 2x - 1}{x^4 - 3x^2 + 1} = \frac{(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)}$.

Сократим общий множитель $(x^2 - x - 1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x^2 - x - 1 \ne 0$): $\frac{\cancel{(x^2 - x - 1)}(x^2 + x + 1)}{\cancel{(x^2 - x - 1)}(x^2 + x - 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x - 1}$.

Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x - 1}$

б) Для упрощения дроби разложим на множители её числитель и знаменатель.

Числитель $x^4 - y^4$ представляет собой разность квадратов: $x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Множитель $(x^2 - y^2)$ также является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Таким образом, числитель полностью раскладывается на множители: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.

Рассмотрим знаменатель: $x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (2x^3y + 2xy^3)$. Первая группа является полным квадратом: $(x^2+y^2)^2$. Во второй группе вынесем общий множитель $2xy$: $2xy(x^2+y^2)$. Тогда знаменатель принимает вид: $(x^2+y^2)^2 + 2xy(x^2+y^2)$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x^2+y^2)$: $(x^2+y^2)((x^2+y^2) + 2xy) = (x^2+y^2)(x^2 + 2xy + y^2)$. Выражение во второй скобке является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$. Следовательно, знаменатель равен: $(x^2+y^2)(x+y)^2$.

Теперь запишем исходную дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x+y)^2(x^2+y^2)}$.

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x^2+y^2)$ (при условии, что $x+y \ne 0$ и $x^2+y^2 \ne 0$): $\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+y^2)}}{(x+y)^{\cancel{2}}\cancel{(x^2+y^2)}} = \frac{x-y}{x+y}$.

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

527 Докажите, что:

a) если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то

$\frac{bc - a}{bc} - \frac{ac - b}{ac} - \frac{ab - c}{ab} = -1;$

б) если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то

$\frac{bc - 1}{bc} + \frac{ac - 1}{ac} + \frac{ab - 1}{ab} = 3.$

а)

Требуется доказать, что если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то $\frac{bc-a}{bc} - \frac{ac-b}{ac} - \frac{ab-c}{ab} = -1$.

Рассмотрим левую часть равенства и преобразуем ее. Разделим почленно числитель на знаменатель в каждой дроби:

$\frac{bc-a}{bc} - \frac{ac-b}{ac} - \frac{ab-c}{ab} = (\frac{bc}{bc} - \frac{a}{bc}) - (\frac{ac}{ac} - \frac{b}{ac}) - (\frac{ab}{ab} - \frac{c}{ab})$

Упростим полученное выражение:

$(1 - \frac{a}{bc}) - (1 - \frac{b}{ac}) - (1 - \frac{c}{ab}) = 1 - \frac{a}{bc} - 1 + \frac{b}{ac} - 1 + \frac{c}{ab}$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 - 1 - 1) - \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab} = -1 - \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}$

Приведем дроби к общему знаменателю $abc$:

$-1 - \frac{a \cdot a}{abc} + \frac{b \cdot b}{abc} + \frac{c \cdot c}{abc} = -1 + \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{abc}$

По условию задачи $a^2 = b^2 + c^2$. Отсюда следует, что $b^2 + c^2 - a^2 = 0$.

Подставим это значение в наше выражение:

$-1 + \frac{0}{abc}$

Так как по условию $abc \neq 0$, то дробь $\frac{0}{abc}$ равна 0.

$-1 + 0 = -1$

Таким образом, левая часть равенства равна -1, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то $\frac{bc-1}{bc} + \frac{ac-1}{ac} + \frac{ab-1}{ab} = 3$.

Рассмотрим левую часть равенства и преобразуем ее. Разделим почленно числитель на знаменатель в каждой дроби:

$\frac{bc-1}{bc} + \frac{ac-1}{ac} + \frac{ab-1}{ab} = (\frac{bc}{bc} - \frac{1}{bc}) + (\frac{ac}{ac} - \frac{1}{ac}) + (\frac{ab}{ab} - \frac{1}{ab})$

Упростим полученное выражение:

$(1 - \frac{1}{bc}) + (1 - \frac{1}{ac}) + (1 - \frac{1}{ab})$

Сгруппируем слагаемые:

$(1 + 1 + 1) - \frac{1}{bc} - \frac{1}{ac} - \frac{1}{ab} = 3 - (\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $abc$:

$3 - (\frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} + \frac{c}{abc}) = 3 - \frac{a+b+c}{abc}$

По условию задачи $a + b + c = 0$.

Подставим это значение в наше выражение:

$3 - \frac{0}{abc}$

Так как по условию $abc \neq 0$, то дробь $\frac{0}{abc}$ равна 0.

$3 - 0 = 3$

Таким образом, левая часть равенства равна 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Докажите тождество (528–530).

528 a) $\frac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} : \frac{x + 2}{2x^2 - 5x + 2} = 1;$

б) $\frac{2x - 6}{x^4 + x^2 - 2} \cdot \frac{x^3 - x^2 + 2x - 2}{3 - x} = - \frac{2}{x + 1}.$

а) Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой, то есть $1$. Для этого разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях дробей.

1. Числитель первой дроби: $x^2+4x+4$. Это формула квадрата суммы: $(x+2)^2$.

2. Знаменатель первой дроби: $2x^3 - x^2 - 8x + 4$. Разложим его методом группировки:
$2x^3 - x^2 - 8x + 4 = (2x^3 - x^2) - (8x - 4) = x^2(2x - 1) - 4(2x - 1) = (x^2 - 4)(2x - 1)$.
Применив формулу разности квадратов к $(x^2-4)$, получим $(x-2)(x+2)(2x-1)$.

3. Знаменатель второй дроби: $2x^2-5x+2$. Чтобы разложить его на множители, найдем корни квадратного уравнения $2x^2-5x+2=0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5-3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{5+3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Следовательно, разложение имеет вид $2(x-\frac{1}{2})(x-2) = (2x-1)(x-2)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} : \frac{x+2}{2x^2 - 5x + 2} = \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)(2x-1)} \cdot \frac{(x-2)(2x-1)}{x+2}$.

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{(x+2)^2 \cdot (x-2)(2x-1)}{(x-2)(x+2)(2x-1) \cdot (x+2)} = \frac{(x+2)^2 \cdot (x-2)(2x-1)}{(x+2)^2 \cdot (x-2)(2x-1)} = 1$.

Левая часть тождества равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой, то есть $-\frac{2}{x+1}$. Для этого разложим на множители многочлены.

1. Числитель первой дроби: $2x-6 = 2(x-3)$.

2. Знаменатель первой дроби: $x^4+x^2-2$. Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену $y=x^2$, тогда получим квадратный трехчлен $y^2+y-2$. Его корни $y_1=1$ и $y_2=-2$. Значит, $y^2+y-2 = (y-1)(y+2)$. Сделав обратную замену, получим $(x^2-1)(x^2+2)$. Разложим $(x^2-1)$ по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)(x^2+2)$.

3. Числитель второй дроби: $x^3-x^2+2x-2$. Применим метод группировки:
$(x^3-x^2)+(2x-2) = x^2(x-1)+2(x-1) = (x-1)(x^2+2)$.

4. Знаменатель второй дроби: $3-x = -(x-3)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$\frac{2x-6}{x^4+x^2-2} \cdot \frac{x^3-x^2+2x-2}{3-x} = \frac{2(x-3)}{(x-1)(x+1)(x^2+2)} \cdot \frac{(x-1)(x^2+2)}{-(x-3)}$.

Сократим общие множители $(x-3)$, $(x-1)$ и $(x^2+2)$:
$\frac{2\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-1)}(x+1)\cancel{(x^2+2)}} \cdot \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x^2+2)}}{-\cancel{(x-3)}} = \frac{2}{x+1} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{2}{x+1}$.

Левая часть тождества равна $-\frac{2}{x+1}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

529 a) $\frac{x^2 - (y+z)^2}{(x-z)^2 - y^2} + \frac{(x-y)^2 - z^2}{x^2 - (y-z)^2} + \frac{y^2 - (z+x)^2}{(x+y)^2 - z^2} = 1;$

б) $\frac{ac - bc - c^2}{(a-c)^2 - b^2} - \frac{ab + bc - b^2}{a^2 - (b-c)^2} - \frac{ac + ab + a^2}{(a+b)^2 - c^2} = -1.$

Указание. Сначала сократите каждую дробь.

а)

Докажем тождество, последовательно упрощая каждую дробь в его левой части. Основной инструмент, который мы будем использовать — формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1. Преобразуем первую дробь:

Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю:

Числитель: $x^2 - (y + z)^2 = (x - (y + z))(x + (y + z)) = (x - y - z)(x + y + z)$.

Знаменатель: $(x - z)^2 - y^2 = ((x - z) - y)((x - z) + y) = (x - y - z)(x + y - z)$.

Сократим дробь на общий множитель $(x - y - z)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{x^2 - (y + z)^2}{(x - z)^2 - y^2} = \frac{(x - y - z)(x + y + z)}{(x - y - z)(x + y - z)} = \frac{x + y + z}{x + y - z}$

2. Преобразуем вторую дробь:

Аналогично применим формулу разности квадратов:

Числитель: $(x - y)^2 - z^2 = ((x - y) - z)((x - y) + z) = (x - y - z)(x - y + z)$.

Знаменатель: $x^2 - (y - z)^2 = (x - (y - z))(x + (y - z)) = (x - y + z)(x + y - z)$.

Сократим дробь на общий множитель $(x - y + z)$:

$\frac{(x - y)^2 - z^2}{x^2 - (y - z)^2} = \frac{(x - y - z)(x - y + z)}{(x - y + z)(x + y - z)} = \frac{x - y - z}{x + y - z}$

3. Преобразуем третью дробь:

И снова применим ту же формулу:

Числитель: $y^2 - (z + x)^2 = (y - (z + x))(y + (z + x)) = (y - z - x)(y + z + x) = -(x - y + z)(x + y + z)$.

Знаменатель: $(x + y)^2 - z^2 = ((x + y) - z)((x + y) + z) = (x + y - z)(x + y + z)$.

Сократим дробь на общий множитель $(x + y + z)$:

$\frac{y^2 - (z + x)^2}{(x + y)^2 - z^2} = \frac{-(x - y + z)(x + y + z)}{(x + y - z)(x + y + z)} = \frac{-(x - y + z)}{x + y - z} = \frac{-x + y - z}{x + y - z}$

4. Сложим полученные дроби:

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть исходного уравнения. Все дроби имеют общий знаменатель $(x + y - z)$.

$\frac{x + y + z}{x + y - z} + \frac{x - y - z}{x + y - z} + \frac{-x + y - z}{x + y - z} = \frac{(x + y + z) + (x - y - z) + (-x + y - z)}{x + y - z}$

Сложим выражения в числителе:

$(x + x - x) + (y - y + y) + (z - z - z) = x + y - z$

В итоге получаем:

$\frac{x + y - z}{x + y - z} = 1$

Таким образом, левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество, упростив каждую дробь в левой части. Для этого в числителях вынесем общий множитель за скобки, а в знаменателях воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1. Преобразуем первую дробь:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Числитель: $ac - bc - c^2 = c(a - b - c)$.

Знаменатель: $(a - c)^2 - b^2 = ((a - c) - b)((a - c) + b) = (a - b - c)(a + b - c)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - b - c)$:

$\frac{ac - bc - c^2}{(a - c)^2 - b^2} = \frac{c(a - b - c)}{(a - b - c)(a + b - c)} = \frac{c}{a + b - c}$

2. Преобразуем вторую дробь:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Числитель: $ab + bc - b^2 = b(a + c - b) = b(a - b + c)$.

Знаменатель: $a^2 - (b - c)^2 = (a - (b - c))(a + (b - c)) = (a - b + c)(a + b - c)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - b + c)$:

$\frac{ab + bc - b^2}{a^2 - (b - c)^2} = \frac{b(a - b + c)}{(a - b + c)(a + b - c)} = \frac{b}{a + b - c}$

3. Преобразуем третью дробь:

Разложим на множители числитель и знаменатель:

Числитель: $ac + ab + a^2 = a(c + b + a) = a(a + b + c)$.

Знаменатель: $(a + b)^2 - c^2 = ((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a + b + c)$:

$\frac{ac + ab + a^2}{(a + b)^2 - c^2} = \frac{a(a + b + c)}{(a + b - c)(a + b + c)} = \frac{a}{a + b - c}$

4. Выполним вычитание:

Подставим упрощенные дроби в левую часть исходного уравнения. Все они имеют общий знаменатель $(a + b - c)$.

$\frac{c}{a + b - c} - \frac{b}{a + b - c} - \frac{a}{a + b - c} = \frac{c - b - a}{a + b - c}$

Вынесем в числителе минус за скобку:

$\frac{-( -c + b + a)}{a + b - c} = \frac{-(a + b - c)}{a + b - c} = -1$

Таким образом, левая часть тождества равна -1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

530 a) $(a + b + c)(bc + ac + ab) - abc = (b + c)(c + a)(a + b);$

б) $(a - b)(b - c)(a - c) = ab(a - b) - ac(a - c) - bc(c - b).$

а)

Чтобы доказать тождество $(a + b + c)(bc + ac + ab) - abc = (b + c)(c + a)(a + b)$, преобразуем его правую часть.

Обозначим $S = a + b + c$. Тогда можно выразить каждую скобку в правой части через $S$:

$b + c = (a + b + c) - a = S - a$

$c + a = (a + b + c) - b = S - b$

$a + b = (a + b + c) - c = S - c$

Подставим эти выражения в правую часть тождества:

$(b + c)(c + a)(a + b) = (S - a)(S - b)(S - c)$

Раскроем скобки. Сначала перемножим первые две:

$(S - a)(S - b) = S^2 - bS - aS + ab = S^2 - (a + b)S + ab$

Теперь умножим результат на $(S - c)$:

$(S^2 - (a + b)S + ab)(S - c) = S(S^2 - (a + b)S + ab) - c(S^2 - (a + b)S + ab)$

$= S^3 - (a + b)S^2 + abS - cS^2 + c(a + b)S - abc$

Сгруппируем слагаемые с $S^2$ и $S$:

$= S^3 - (a + b + c)S^2 + (ab + ac + bc)S - abc$

Поскольку $S = a + b + c$, заменим $(a + b + c)$ на $S$:

$= S^3 - S \cdot S^2 + (ab + bc + ca)S - abc$

$= S^3 - S^3 + (ab + bc + ca)S - abc$

$= (ab + bc + ca)S - abc$

Наконец, подставим обратно $S = a + b + c$:

$= (ab + bc + ca)(a + b + c) - abc$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $(a - b)(b - c)(a - c) = ab(a - b) - ac(a - c) - bc(c - b)$, преобразуем его правую часть.

Начнем с выражения в правой части:

$ab(a - b) - ac(a - c) - bc(c - b)$

Заметим, что $c - b = -(b - c)$. Подставим это в последнее слагаемое:

$-bc(c - b) = -bc(-(b - c)) = bc(b - c)$

Теперь правая часть выглядит так:

$ab(a - b) - ac(a - c) + bc(b - c)$

Представим множитель $(a - c)$ в виде суммы двух других разностей: $a - c = (a - b) + (b - c)$.

Подставим это выражение в средний член:

$ab(a - b) - ac((a - b) + (b - c)) + bc(b - c)$

Раскроем скобки в среднем члене:

$ab(a - b) - ac(a - b) - ac(b - c) + bc(b - c)$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями $(a - b)$ и $(b - c)$:

$(ab(a - b) - ac(a - b)) + (bc(b - c) - ac(b - c))$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$(a - b)(ab - ac) + (b - c)(bc - ac)$

Вынесем общие множители из вторых скобок:

$(a - b)a(b - c) + (b - c)c(b - a)$

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это во второе слагаемое:

$(a - b)a(b - c) + (b - c)c(-(a - b)) = (a - b)a(b - c) - (b - c)c(a - b)$

Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель $(a - b)(b - c)$:

$(a - b)(b - c)(a - c)$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано.

531 Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{x^2 - 1}{1 - x}, & \text{если } x \le 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x + 2}, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{x^2-1}{1-x}, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Для построения графика упростим каждый из участков функции.

1. Участок при $x > 0$:
$y = \frac{x^2-1}{x-1}$
Используем формулу разности квадратов для числителя: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$y = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$
Область допустимых значений для этого выражения: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Так как точка $x=1$ входит в рассматриваемый промежуток $x > 0$, на графике в этой точке будет разрыв (выколотая точка). При $x \neq 1$ мы можем сократить дробь: $y = x+1$.
Таким образом, для $x > 0$ график представляет собой луч прямой $y = x+1$ с началом в точке, соответствующей $x=0$, и выколотой точкой при $x=1$.
Координаты выколотой точки: $y(1) = 1+1=2$. Точка $(1, 2)$ не принадлежит графику. Так как условие строгое ($x>0$), начальная точка луча при $x=0$ также будет выколотой: $y(0) = 0+1=1$. Точка $(0, 1)$ выколота.

2. Участок при $x \le 0$:
$y = \frac{x^2-1}{1-x}$
Преобразуем выражение: $y = \frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}$.
Область допустимых значений: $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Это условие не затрагивает промежуток $x \le 0$. Сокращаем дробь: $y = -(x+1) = -x-1$.
Для $x \le 0$ график — это луч прямой $y = -x-1$. Так как условие нестрогое ($x \le 0$), начальная точка луча при $x=0$ принадлежит графику: $y(0) = -0-1=-1$. Точка $(0, -1)$ закрашена.

Итог:
График состоит из двух лучей:

• Луч $y = -x-1$, начинающийся из закрашенной точки $(0, -1)$ и идущий влево-вверх.
• Луч $y = x+1$, начинающийся из выколотой точки $(0, 1)$, идущий вправо-вверх и имеющий выколотую точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча прямой $y=-x-1$ с началом в точке $(0, -1)$ (точка включена) для $x \le 0$, и луча прямой $y=x+1$ для $x > 0$ с выколотыми точками $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной: $y = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{x^2-4}{x+2}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика упростим каждый из участков функции.

1. Участок при $x \ge 0$:
$y = \frac{x^2-4}{x-2}$
Используем формулу разности квадратов для числителя: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$y = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
Область допустимых значений: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Так как точка $x=2$ входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$, на графике в этой точке будет выколотая точка.
При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь: $y = x+2$.
Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой луч прямой $y = x+2$ с выколотой точкой при $x=2$.
Координаты выколотой точки: $y(2) = 2+2=4$. Точка $(2, 4)$ не принадлежит графику.
Так как условие нестрогое ($x \ge 0$), начальная точка луча при $x=0$ принадлежит графику: $y(0)=0+2=2$. Точка $(0, 2)$ закрашена.

2. Участок при $x < 0$:
$y = \frac{x^2-4}{x+2}$
Преобразуем выражение: $y = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$.
Область допустимых значений: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Так как точка $x=-2$ входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$, на графике в этой точке будет выколотая точка.
При $x \neq -2$ мы можем сократить дробь: $y = x-2$.
Таким образом, для $x < 0$ график представляет собой луч прямой $y=x-2$ с выколотой точкой при $x=-2$.
Координаты выколотой точки: $y(-2) = -2-2=-4$. Точка $(-2, -4)$ не принадлежит графику.
Так как условие строгое ($x<0$), начальная точка луча при $x=0$ также будет выколотой: $y(0) = 0-2=-2$. Точка $(0, -2)$ выколота.

Итог:
График состоит из двух лучей:

• Луч $y = x+2$, начинающийся из закрашенной точки $(0, 2)$, идущий вправо-вверх и имеющий выколотую точку $(2, 4)$.
• Луч $y = x-2$, начинающийся из выколотой точки $(0, -2)$, идущий влево-вниз и имеющий выколотую точку $(-2, -4)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча прямой $y=x+2$ с началом в точке $(0, 2)$ (точка включена) для $x \ge 0$, на котором выколота точка $(2, 4)$, и луча прямой $y=x-2$ для $x < 0$ с выколотой начальной точкой $(0, -2)$ и выколотой точкой $(-2, -4)$.