Страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

499 Решите уравнение с переменной x:

a) $(m - 1)x = m^2 - 1;$

б) $(c - 2)x = c + 2;$

в) $(2 - a)x = a^2 - 4;$

г) $(b^2 - 1)x = b + 1.$

Для решения данных уравнений с параметром необходимо рассмотреть случаи, когда коэффициент при переменной $x$ равен нулю и когда не равен нулю.

Дано уравнение $(m - 1)x = m^2 - 1$.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1$, то можно найти $x$ делением обеих частей уравнения на $(m - 1)$:
$x = \frac{m^2 - 1}{m - 1}$
Используя формулу разности квадратов, разложим числитель:
$x = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$
Сократив дробь, получаем:
$x = m + 1$.

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $m - 1 = 0 \implies m = 1$, подставим это значение в исходное уравнение:
$(1-1)x = 1^2 - 1$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $m \neq 1$, то $x = m + 1$; если $m = 1$, то $x$ - любое число.

Дано уравнение $(c - 2)x = c + 2$.

1. Если $c - 2 \neq 0 \implies c \neq 2$, то решение уравнения находится делением:
$x = \frac{c + 2}{c - 2}$.

2. Если $c - 2 = 0 \implies c = 2$, то уравнение принимает вид:
$(2-2)x = 2+2$
$0 \cdot x = 4$
Это равенство ложно, так как $0 \neq 4$. Следовательно, уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: если $c \neq 2$, то $x = \frac{c + 2}{c - 2}$; если $c = 2$, то корней нет.

Дано уравнение $(2 - a)x = a^2 - 4$.

1. Если $2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$, то:
$x = \frac{a^2 - 4}{2 - a}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов и вынесем минус в знаменателе:
$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{-(a - 2)}$
Сократив дробь на $(a-2)$, получим:
$x = -(a + 2) = -a - 2$.

2. Если $2 - a = 0 \implies a = 2$, то уравнение принимает вид:
$(2-2)x = 2^2-4$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq 2$, то $x = -a - 2$; если $a = 2$, то $x$ - любое число.

Дано уравнение $(b^2 - 1)x = b + 1$.

Коэффициент при $x$ равен $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$. Он обращается в ноль при $b = 1$ и $b = -1$. Рассмотрим три случая.

1. Если $b^2 - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$ и $b \neq -1$, то:
$x = \frac{b + 1}{b^2 - 1} = \frac{b + 1}{(b - 1)(b + 1)}$
Сократив дробь на $(b+1)$, получаем:
$x = \frac{1}{b - 1}$.

2. Если $b = 1$, уравнение принимает вид:
$(1^2 - 1)x = 1 + 1$
$0 \cdot x = 2$
Это равенство ложно, уравнение не имеет решений.

3. Если $b = -1$, уравнение принимает вид:
$((-1)^2 - 1)x = -1 + 1$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $b \neq 1$ и $b \neq -1$, то $x = \frac{1}{b - 1}$; если $b = 1$, то корней нет; если $b = -1$, то $x$ - любое число.

500 Выясните, при каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:

a) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0;$

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0.$

Чтобы уравнение имело два различных корня (что обычно и подразумевается под "два корня"), необходимо выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Дискриминант $D$ квадратного уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

а) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$

1. Сначала рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным. Это происходит при $a \neq 0$.

Найдем дискриминант $D$ данного уравнения. Здесь коэффициенты: $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=1$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = (a+1)^2 - 4a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть строго положительным:

$D > 0 \implies (a-1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, положителен. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $a$, кроме того, при котором основание степени равно нулю.

$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$

Итак, для того чтобы уравнение было квадратным и имело два различных корня, должны выполняться условия: $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

2. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a=0$. В этом случае уравнение перестает быть квадратным и становится линейным.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - (0+1)x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

$x = 1$

При $a=0$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя все условия, получаем, что уравнение имеет два корня при $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0$

1. Рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$.

Найдем дискриминант $D$. Коэффициенты: $A=a$, $B=-(a^2+4)$, $C=4a$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a^2+4))^2 - 4 \cdot a \cdot (4a) = (a^2+4)^2 - 16a^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (a^4 + 8a^2 + 16) - 16a^2 = a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2-4)^2$

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$.

$(a^2-4)^2 > 0$

Это неравенство выполняется, когда выражение в скобках не равно нулю:

$a^2 - 4 \neq 0$

$a^2 \neq 4$

Это означает, что $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Таким образом, для квадратного уравнения два различных корня существуют при $a \neq 0$, $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

2. Рассмотрим случай, когда $a=0$.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - (0^2+4)x + 4 \cdot 0 = 0$

$-4x = 0$

$x = 0$

При $a=0$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, объединяя все условия, получаем, что исходное уравнение имеет два корня при $a \neq 0$, $a \neq -2$ и $a \neq 2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

501 Докажите, что при любых значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0;$

б) $(x + a)(x - a) = 1 - 2a.$

а)

Данное уравнение $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы доказать, что уравнение имеет хотя бы один корень при любом значении параметра $a$, необходимо и достаточно доказать, что его дискриминант $D$ является неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Коэффициенты квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ в нашем случае равны:

$A = 1$, $B = -5a$, $C = 6a^2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2) = 25a^2 - 24a^2 = a^2$.

Квадрат любого действительного числа $a$ всегда больше или равен нулю, то есть $a^2 \ge 0$.

Поскольку дискриминант $D = a^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, данное уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень. При $a=0$ корень один ($x=0$), при $a \ne 0$ корней два ($x=2a$ и $x=3a$).

Ответ: Доказано.

б)

Сначала преобразуем уравнение $(x + a)(x - a) = 1 - 2a$ к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов:

$x^2 - a^2 = 1 - 2a$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$x^2 - a^2 - 1 + 2a = 0$.

Сгруппируем члены, чтобы выделить коэффициенты:

$x^2 + 0 \cdot x + (2a - a^2 - 1) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Коэффициенты равны:

$A = 1$, $B = 0$, $C = 2a - a^2 - 1$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - a^2 - 1) = -4(2a - a^2 - 1) = -8a + 4a^2 + 4$.

Расположим члены в порядке убывания степеней $a$ и вынесем общий множитель:

$D = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1)$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Таким образом, дискриминант равен $D = 4(a - 1)^2$.

Величина $(a-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому она всегда неотрицательна: $(a - 1)^2 \ge 0$. При умножении на 4 результат также остается неотрицательным: $D = 4(a - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$.

Так как дискриминант $D \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: Доказано.

502 При каких значениях c данное уравнение имеет два корня; имеет два корня разных знаков:

а) $x^2 - 12x + c = 0;$

б) $x^2 + cx - 4 = 0;$

в) $2x^2 + cx + 2 = 0?$

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами квадратного уравнения $ax^2 + bx + k = 0$:

1. Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ak$ строго больше нуля ($D > 0$).
2. Уравнение имеет два корня разных знаков, если их произведение отрицательно. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = k/a$. Таким образом, условие $k/a < 0$ гарантирует наличие двух корней разных знаков. Заметим, что если $k/a < 0$, то $ak < 0$, и дискриминант $D = b^2 - 4ak$ всегда будет положительным, так как $b^2 \ge 0$ и $-4ak > 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а) $x^2 - 12x + c = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, свободный член равен $c$.

1. Условие наличия двух корней:

Дискриминант должен быть больше нуля: $D > 0$.$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.$144 - 4c > 0$$144 > 4c$$c < 36$.Уравнение имеет два корня при $c < 36$.

2. Условие наличия двух корней разных знаков:

Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c/1 = c$.$c < 0$.Уравнение имеет два корня разных знаков при $c < 0$.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c < 36$; имеет два корня разных знаков при $c < 0$.

б) $x^2 + cx - 4 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=c$, свободный член равен $-4$.

1. Условие наличия двух корней:

Дискриминант должен быть больше нуля: $D > 0$.$D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = c^2 + 16$.Неравенство $c^2 + 16 > 0$ выполняется для любого действительного значения $c$, так как $c^2 \ge 0$, и следовательно $c^2 + 16 \ge 16$.Таким образом, уравнение всегда имеет два различных корня.

2. Условие наличия двух корней разных знаков:

Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = -4/1 = -4$.Так как $-4 < 0$, произведение корней всегда отрицательно, независимо от значения $c$.Следовательно, уравнение всегда имеет два корня разных знаков.

Ответ: уравнение имеет два корня при любом значении $c$; имеет два корня разных знаков при любом значении $c$.

в) $2x^2 + cx + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=2$, $b=c$, свободный член равен $2$.

1. Условие наличия двух корней:

Дискриминант должен быть больше нуля: $D > 0$.$D = c^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = c^2 - 16$.$c^2 - 16 > 0$$(c - 4)(c + 4) > 0$.Решением этого неравенства является объединение интервалов $c < -4$ и $c > 4$.Уравнение имеет два корня при $c \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$.

2. Условие наличия двух корней разных знаков:

Произведение корней должно быть отрицательным: $x_1 \cdot x_2 < 0$.По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = 2/2 = 1$.Так как произведение корней равно $1$, что является положительным числом, то у уравнения не может быть корней разных знаков. Если корни существуют, они всегда одного знака.

Ответ: уравнение имеет два корня при $c \in (-\infty; -4) \cup (4; \infty)$; не существует значений $c$, при которых уравнение имеет два корня разных знаков.

503 С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение ($a$ — параметр):

a) $|x| = ax - 1$;

б) $|x| = ax + 2$.

Для решения задачи графическим методом необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, и найти количество их точек пересечения в зависимости от параметра $a$.

а) $|x| = ax - 1$

Рассмотрим две функции: $y = |x|$ и $y = ax - 1$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения их графиков.

График функции $y = |x|$ — это график модуля, состоящий из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

График функции $y = ax - 1$ — это семейство прямых, которые проходят через точку $(0, -1)$ (так как при $x=0$, $y=-1$ для любого значения $a$). Параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

Проанализируем количество точек пересечения, мысленно вращая прямую $y = ax - 1$ вокруг точки $(0, -1)$ и изменяя её наклон $a$.

1. Рассмотрим случаи, когда прямая параллельна одной из ветвей графика $y=|x|$. Ветви имеют угловые коэффициенты $1$ и $-1$.
   • При $a=1$ прямая $y = x - 1$ параллельна лучу $y = x$. Она лежит ниже этого луча и не пересекает его. Луч $y = -x$ она также не пересекает. Таким образом, точек пересечения нет (0 корней).
   • При $a=-1$ прямая $y = -x - 1$ параллельна лучу $y = -x$. Аналогично, она не имеет точек пересечения с графиком $y=|x|$. Точек пересечения нет (0 корней).
2. Если угловой коэффициент $a$ находится в промежутке $(-1, 1)$, прямая $y = ax - 1$ будет проходить "под" графиком $y=|x|$ и не пересечет его. Например, при $a=0$ прямая $y = -1$ очевидно не имеет общих точек с $y=|x|$, так как $|x| \ge 0$. В этом случае точек пересечения нет (0 корней).
3. Если $a > 1$, наклон прямой становится больше, чем у луча $y=x$. Прямая пересечет этот луч в одной точке при $x>0$. Алгебраически: $x = ax-1 \implies (a-1)x = 1 \implies x = \frac{1}{a-1}$. Так как $a>1$, то $x>0$, корень существует. С лучом $y=-x$ пересечения не будет. Таким образом, будет одна точка пересечения (1 корень).
4. Если $a < -1$, прямая пересечет луч $y=-x$ в одной точке при $x<0$. Алгебраически: $-x = ax-1 \implies (a+1)x = 1 \implies x = \frac{1}{a+1}$. Так как $a<-1$, то $x<0$, корень существует. С лучом $y=x$ пересечения не будет. Таким образом, будет одна точка пересечения (1 корень).

Итак, при $a \in [-1, 1]$ уравнение не имеет корней. При $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ уравнение имеет один корень.

Ответ: уравнение может иметь 0 или 1 корень.

б) $|x| = ax + 2$

Рассмотрим графики функций $y = |x|$ и $y = ax + 2$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

График $y = |x|$ нам уже известен.

График $y = ax + 2$ — это семейство прямых, проходящих через точку $(0, 2)$ с угловым коэффициентом $a$. Эта точка находится "внутри" графика $y=|x|$, выше его вершины.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$.

1. Если угловой коэффициент $a$ находится в промежутке $(-1, 1)$, то есть $-1 < a < 1$, прямая $y = ax + 2$ будет пересекать обе ветви графика $y=|x|$.
   • Пересечение с правой ветвью $y=x$ ($x \ge 0$): $x = ax+2 \implies (1-a)x = 2 \implies x = \frac{2}{1-a}$. Так как $a<1$, то $1-a>0$, и корень $x>0$ существует.
   • Пересечение с левой ветвью $y=-x$ ($x < 0$): $-x = ax+2 \implies -(a+1)x = 2 \implies x = \frac{-2}{a+1}$. Так как $a>-1$, то $a+1>0$, и корень $x<0$ существует.
   В этом случае уравнение имеет две точки пересечения (2 корня).
2. Рассмотрим граничные случаи, когда прямая параллельна одной из ветвей.
   • При $a=1$ прямая $y = x + 2$ параллельна лучу $y=x$ и не пересекает его. Но она пересекает луч $y=-x$ в точке, где $-x = x+2$, что дает $x=-1$. Таким образом, уравнение имеет одну точку пересечения (1 корень).
   • При $a=-1$ прямая $y = -x + 2$ параллельна лучу $y=-x$ и не пересекает его. Но она пересекает луч $y=x$ в точке, где $x = -x+2$, что дает $x=1$. Уравнение также имеет одну точку пересечения (1 корень).
3. Если $a > 1$, наклон прямой больше, чем у $y=x$. Прямая пересекает только левую ветвь $y=-x$ (корень $x = \frac{-2}{a+1}$ будет отрицательным, так как $a+1 > 0$). С правой ветвью пересечения нет. Уравнение имеет одну точку пересечения (1 корень).
4. Если $a < -1$, прямая пересекает только правую ветвь $y=x$ (корень $x = \frac{2}{1-a}$ будет положительным, так как $1-a > 0$). С левой ветвью пересечения нет. Уравнение имеет одну точку пересечения (1 корень).

Итак, при $a \in (-1, 1)$ уравнение имеет два корня. При $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ уравнение имеет один корень.

Ответ: уравнение может иметь 1 или 2 корня.

504 Дана система уравнений с переменными $x$ и $y$:

а) С помощью графиков установите, сколько решений может иметь система уравнений.

б) Найдите значения $a$, при которых система имеет два решения; три решения.

a) Для решения задачи графическим методом построим графики обоих уравнений в одной системе координат.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 1$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1.

Второе уравнение, $y = |x| + a$, задает семейство графиков, получаемых из графика функции $y = |x|$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $a$ единиц. График функции $y = |x|$ представляет собой "уголок", состоящий из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина этого уголка находится в точке $(0, a)$.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения окружности и графика $y = |x| + a$. Проанализируем это количество в зависимости от значения параметра $a$, который определяет вертикальное положение "уголка".

1. При $a > 1$ вершина "уголка" $(0, a)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 1)$. Весь график $y = |x| + a$ лежит выше окружности, поэтому общих точек нет. Система имеет 0 решений.
2. При $a = 1$ вершина "уголка" совпадает с верхней точкой окружности $(0, 1)$. Это единственная общая точка. Система имеет 1 решение.
3. При $-1 < a < 1$ вершина "уголка" $(0, a)$ находится внутри окружности. Каждый из двух лучей "уголка" пересекает окружность в одной точке. Система имеет 2 решения.
4. При $a = -1$ вершина "уголка" совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Кроме этой точки, лучи $y = x - 1$ и $y = -x - 1$ пересекают окружность в точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ соответственно. Всего 3 решения.
5. При $-\sqrt{2} < a < -1$ вершина "уголка" находится ниже окружности, но лучи пересекают окружность в двух точках каждый. Всего 4 решения.
6. При $a = -\sqrt{2}$ лучи "уголка" касаются окружности. Это предельный случай, когда две пары точек пересечения сливаются в две точки касания. Система имеет 2 решения.
7. При $a < -\sqrt{2}$ "уголок" целиком проходит ниже окружности, не имея с ней общих точек. Система имеет 0 решений.

Таким образом, в зависимости от значения параметра $a$, система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

Ответ: Система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

б) На основании графического анализа, проведенного в пункте а), найдем требуемые значения параметра $a$.

Система имеет два решения в двух случаях:

• Когда график $y = |x| + a$ касается окружности $x^2 + y^2 = 1$. Это происходит, когда расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямых, из которых состоит график ($y=x+a$ и $y=-x+a$), равно радиусу 1. Рассмотрим прямую $x - y + a = 0$. Расстояние до нее от начала координат: $d = \frac{|1\cdot0 - 1\cdot0 + a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$. Приравнивая радиусу, получаем $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 1$, откуда $|a|=\sqrt{2}$, то есть $a=\sqrt{2}$ или $a=-\sqrt{2}$. При $a=\sqrt{2}$ вершина $(0, \sqrt{2})$ находится выше окружности, пересечений нет. При $a=-\sqrt{2}$ вершина $(0, -\sqrt{2})$ находится ниже окружности, и лучи касаются ее. Этот случай дает два решения.
• Когда вершина "уголка" $(0, a)$ находится на оси $Oy$ строго между точками $(0, -1)$ и $(0, 1)$. Это соответствует неравенству $-1 < a < 1$. В этом диапазоне система имеет два решения.

Объединяя эти два случая, получаем, что система имеет два решения при $a = -\sqrt{2}$ и при $a \in (-1, 1)$.

Система имеет три решения только в одном случае:

• Когда вершина "уголка" $(0, a)$ совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Это происходит при $a = -1$. Точки пересечения в этом случае: $(0, -1)$, а также точки пересечения лучей $y=x-1$ и $y=-x-1$ с окружностью, которыми являются $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: два решения при $a \in (-1, 1) \cup \{-\sqrt{2}\}$; три решения при $a=-1$.

505 Сколько решений может иметь система уравнений

$\begin{cases}y = 1 - x^2 \\y = x^2 + c\end{cases}$

Укажите значения c, при которых система имеет одно решение; не имеет решений.

Для того чтобы определить, сколько решений может иметь система, рассмотрим ее с аналитической и графической точек зрения. Решением системы являются точки $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям, то есть точки пересечения графиков функций $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 + c$.

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$1 - x^2 = x^2 + c$

Соберем члены с переменной $x$ в одной части уравнения, а константы — в другой:

$1 - c = x^2 + x^2$

$1 - c = 2x^2$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1 - c}{2}$

Количество решений этого уравнения (и, следовательно, всей системы) зависит от знака выражения в правой части. Графически, $y=1-x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз, а $y=x^2+c$ — парабола с вершиной в точке $(0, c)$ и ветвями, направленными вверх. Количество решений системы — это количество точек пересечения этих парабол.

• Если $\frac{1 - c}{2} > 0$, то есть $c < 1$, уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ имеет два различных корня для $x$. Следовательно, система имеет два решения. Это соответствует случаю, когда вершина параболы $y=x^2+c$ находится ниже вершины параболы $y=1-x^2$.
• Если $\frac{1 - c}{2} = 0$, то есть $c = 1$, уравнение имеет один корень $x=0$. Следовательно, система имеет одно решение. Это соответствует случаю, когда вершины парабол совпадают и графики касаются в одной точке.
• Если $\frac{1 - c}{2} < 0$, то есть $c > 1$, уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система не имеет решений. Это соответствует случаю, когда вершина параболы $y=x^2+c$ находится выше вершины параболы $y=1-x^2$, и графики не пересекаются.

Таким образом, система может иметь ноль, одно или два решения.

Значения c, при которых система имеет одно решение

Как было установлено выше, система имеет одно решение, когда уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ имеет ровно один корень. Это возможно только в том случае, если его правая часть равна нулю.

$\frac{1 - c}{2} = 0$

Умножив обе части на 2, получим:

$1 - c = 0$

$c = 1$

При $c=1$ уравнение для $x$ принимает вид $x^2=0$, откуда $x=0$. Соответствующее значение $y$ равно $y = 1 - 0^2 = 1$. Таким образом, при $c=1$ система имеет единственное решение $(0; 1)$.

Ответ: $c=1$.

Значения c, при которых система не имеет решений

Система не имеет решений, когда уравнение $x^2 = \frac{1 - c}{2}$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть уравнения является отрицательным числом.

$\frac{1 - c}{2} < 0$

Поскольку знаменатель $2$ положителен, знак дроби определяется знаком числителя:

$1 - c < 0$

Перенесем $c$ в правую часть неравенства:

$1 < c$, что эквивалентно $c > 1$.

Ответ: $c > 1$.

506 При каких значениях $c$ прямая $x + y = c$ касается окружности $x^2 + y^2 = 2$? пересекает эту окружность в двух точках?

Для решения данной задачи мы определим взаимное расположение прямой и окружности, сравнивая расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$, квадрат которого $R^2 = 2$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{2}$.

Уравнение прямой $x + y = c$. Для вычисления расстояния до нее от центра окружности, запишем его в общем виде $Ax + By + C = 0$: $x + y - c = 0$. Здесь коэффициенты $A = 1$, $B = 1$, $C = -c$.

Расстояние $d$ от центра окружности $O(0, 0)$ до прямой вычисляется по формуле:

$d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-c|}{\sqrt{2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$

Теперь рассмотрим два случая, описанные в задаче.

Прямая касается окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу, то есть $d = R$.

Подставим известные значения в это равенство:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Решим полученное уравнение:

$|c| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|c| = 2$

Это уравнение справедливо для двух значений $c$: $c = 2$ и $c = -2$.

Ответ: $c = \pm 2$.

Прямая пересекает окружность в двух различных точках, если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то есть $d < R$.

Подставим известные значения в это неравенство:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2}$

Решим полученное неравенство:

$|c| < \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|c| < 2$

Данное неравенство с модулем эквивалентно двойному неравенству $-2 < c < 2$.

Ответ: $c \in (-2, 2)$.

507 Найдите значения $b$, при которых точка пересечения прямых $y = 18 - 2x$ и $y = 3x + b$ находится в четвёртой четверти.

Для того чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 18 - 2x \\ y = 3x + b \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$18 - 2x = 3x + b$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а остальные — в другую:

$18 - b = 3x + 2x$
$18 - b = 5x$

Отсюда выразим $x$ через $b$:

$x = \frac{18 - b}{5}$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив полученное выражение для $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 18 - 2x = 18 - 2\left(\frac{18 - b}{5}\right) = \frac{18 \cdot 5}{5} - \frac{2(18 - b)}{5} = \frac{90 - 36 + 2b}{5} = \frac{54 + 2b}{5}$

Таким образом, координаты точки пересечения $(x; y)$ в зависимости от параметра $b$ равны:

$x = \frac{18 - b}{5}; \quad y = \frac{54 + 2b}{5}$

По условию задачи, точка пересечения находится в четвёртой координатной четверти. Это означает, что её абсцисса должна быть положительной ($x > 0$), а ордината — отрицательной ($y < 0$).

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{18 - b}{5} > 0 \\ \frac{54 + 2b}{5} < 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $\frac{18 - b}{5} > 0$
Так как знаменатель $5$ — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$18 - b > 0$
$18 > b$
$b < 18$

2) $\frac{54 + 2b}{5} < 0$
Аналогично, умножаем на $5$:
$54 + 2b < 0$
$2b < -54$
$b < -27$

Мы получили два условия для $b$: $b < 18$ и $b < -27$. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти их пересечение. Пересечением этих двух интервалов является интервал $b < -27$.

Ответ: $b < -27$, или в виде интервала $b \in (-\infty; -27)$.