Номер 507, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.8. Уравнения с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 507, страница 201.

507 Найдите значения $b$, при которых точка пересечения прямых $y = 18 - 2x$ и $y = 3x + b$ находится в четвёртой четверти.

Для того чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 18 - 2x \\ y = 3x + b \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$18 - 2x = 3x + b$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а остальные — в другую:

$18 - b = 3x + 2x$
$18 - b = 5x$

Отсюда выразим $x$ через $b$:

$x = \frac{18 - b}{5}$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив полученное выражение для $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 18 - 2x = 18 - 2\left(\frac{18 - b}{5}\right) = \frac{18 \cdot 5}{5} - \frac{2(18 - b)}{5} = \frac{90 - 36 + 2b}{5} = \frac{54 + 2b}{5}$

Таким образом, координаты точки пересечения $(x; y)$ в зависимости от параметра $b$ равны:

$x = \frac{18 - b}{5}; \quad y = \frac{54 + 2b}{5}$

По условию задачи, точка пересечения находится в четвёртой координатной четверти. Это означает, что её абсцисса должна быть положительной ($x > 0$), а ордината — отрицательной ($y < 0$).

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{18 - b}{5} > 0 \\ \frac{54 + 2b}{5} < 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $\frac{18 - b}{5} > 0$
Так как знаменатель $5$ — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$18 - b > 0$
$18 > b$
$b < 18$

2) $\frac{54 + 2b}{5} < 0$
Аналогично, умножаем на $5$:
$54 + 2b < 0$
$2b < -54$
$b < -27$

Мы получили два условия для $b$: $b < 18$ и $b < -27$. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти их пересечение. Пересечением этих двух интервалов является интервал $b < -27$.

Ответ: $b < -27$, или в виде интервала $b \in (-\infty; -27)$.