Номер 509, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.9. Решение систем уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 509, страница 204.

509 $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17 \\ xy = -2. \end{cases} $

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 2.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Воспользуемся тождеством, связывающим сумму четвертых степеней с суммой квадратов: $x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$. Это тождество можно переписать как:

$$ x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 = 17 $$

Из второго уравнения системы нам известно, что $xy = -2$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$$ (x^2+y^2)^2 - 2(-2)^2 = 17 $$

Выполним вычисления:

$$ (x^2+y^2)^2 - 2(4) = 17 $$

$$ (x^2+y^2)^2 - 8 = 17 $$

$$ (x^2+y^2)^2 = 25 $$

Из этого уравнения следует, что $x^2+y^2$ может принимать два значения: $x^2+y^2 = 5$ или $x^2+y^2 = -5$.

Рассмотрим случай, когда $x^2+y^2 = -5$. Так как мы ищем решения в действительных числах, а квадраты действительных чисел ($x^2$ и $y^2$) не могут быть отрицательными, их сумма также не может быть отрицательной. Следовательно, уравнение $x^2+y^2 = -5$ не имеет решений в действительных числах.

Остается рассмотреть случай, когда $x^2+y^2 = 5$. Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 5 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.

Подставим известные значения $x^2+y^2=5$ и $xy=-2$:

$$ (x+y)^2 = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1 $$

Отсюда получаем два возможных значения для суммы $x+y$: $x+y = 1$ или $x+y = -1$. Это приводит нас к двум системам уравнений, которые решаются с помощью теоремы Виета.

Случай 1: $x+y = 1$ и $xy = -2$.

Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$$ t^2 - t - 2 = 0 $$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$. Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(2; -1)$ и $(-1; 2)$.

Случай 2: $x+y = -1$ и $xy = -2$.

Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$$ t^2 - (-1)t - 2 = 0 \implies t^2 + t - 2 = 0 $$

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$. Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(1; -2)$ и $(-2; 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений для исходной системы.

Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$, $(1; -2)$, $(-2; 1)$.